Teorema ëd categorìa ëd Baire

Stamp:Prinsipi Ël teorema ëd categorìa ëd Baire a fortiss che an në spassi métrich complet, l'antërsession ëd minca famija numeràbil ëd sot-ansem duvert satì a l'é satìa. N'àutra formolassion a l'é che l'union ëd na famija numeràbil ëd sot-ansem sarà con anterior veuid a l'ha anterior veuid.

Cost teorema a l'é stàit dimostrà ëd fasson indipendenta da Osgood dël 1898 e da Baire dël 1899.

La dimostrassion

Ch'as consìdero j'ansem duvert satì $O_n$ e ch'as denòta

$G=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{O}_n$.

A ventà dimostré che G a l'é satì. Ch'as fissa antlora n'ansem duvert e nen veuid U, un pont $x_0\in U$ e un nùmer $r_0>0$ taj che

$\overline{{ℬ}_{r_0}(x_0)}\subseteq U$,

anté che ${ℬ}_r(x)$ a l'é la sfera ëd sènter x e raj r.

Dagià che $O_0$ a l'é duvert e satì, a-i son $x_1\in {ℬ}_{r_0}(x_0)\cap O_0$ e $0<r_1<\frac{r_0}{2}$ taj che

$\overline{{ℬ}_{r_1}(x_1)}\subseteq {ℬ}_{r_0}(x_0)\cap O_0$.

Për andussion as peulo antlora definì dle sequense $x_n,r_n$ taj che

$\{\begin{array}{c}\overline{{ℬ}_{r_{n+1}}(x_{n+1})}\subseteq {ℬ}_{r_n}(x_n)\cap O_n,\\ 0<r_{n+1}<\frac{r_n}{2}\end{array}$.

Donca $x_n$ a l'é na sequensa ëd Cauchy. Ch'as denota con $z$ sò lìmit. Dagià che

$\mathrm{\forall }n,p\in \mathbb{N},x_{n+p}\in {ℬ}_{r_n}(x_n)$,

al lìmit për $p\to \mathrm{\infty }$ as oten $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},z\in \overline{{ℬ}_{r_n}(x_n)}$. An particolar,

$z\in U\cap G$.