Mzura esterior

Stamp:Prinsipi Ch'as consìdero n'ansem E e na fonsion $\alpha :𝒫(E)\to [0,+\mathrm{\infty }]$ definìa an sla famija dij sot-ansem d'E e ch'a peul pijé valor reaj nen negativ o ëdcò $+\mathrm{\infty }$. La fonsion α a l'é dita mzura esterior ansima a E s'a valo le relassion:

• $\alpha (\mathrm{\varnothing })=0$,
• $F\subseteq \bigcup _{h\in \mathbb{N}}{F}_h\subseteq E\Rightarrow \alpha (F)\le \sum _{h=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha (F_h)$.

N'ansem $F\subseteq E$ a l'é dit α-mzuràbil conforma a Charathéodory si për minca $G\subseteq E$ a val l'ugualiansa

$\alpha (G)=\alpha (G\cap F)+\alpha (G-F)$.

Chèich proprietà

Teorema. Ch'as consìdera na mzura esterior α ansima a E. La famija $ℳ$ dj'ansem α-mzuràbij a l'é na σ-àlgebra.

Teorema. Na mzura esterior α a l'é σ-aditiva an sj'ansem α-mzuràbij, visadì si $\{B_h{\}}_{h\in \mathbb{N}}$ a l'é na famija d'ansem α-mzuràbij a doi a doi disgionzù, antlora

$\alpha (\bigcup _{h\in \mathbb{N}}{B}_h)=\sum _{h=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha (B_h)$.

Generassion dë mzure esterior

A-i son vàire manere ëd creé dle mzure esterior.

Ch'as fisso n'ansem E e na famija $ℱ$ ëd sot-ansem d'E tal che $\mathrm{\varnothing }\in ℱ$. Ch'as consìdera na fonsion $\alpha :ℱ\to [0,+\mathrm{\infty }]$, con $\alpha (\mathrm{\varnothing })=0$. As peul antlora definì na fonsion ${\alpha }^{*}:𝒫(E)\to [0,+\mathrm{\infty }]$ an butand:

• ${\alpha }^{*}(F)=\inf \{\sum _{h=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha (F_h)\mid F_h\in ℱ,F\subseteq \bigcup _{h\in \mathbb{N}}{F}_h\}$ si l'ansem dont as fa l'estrem superior a l'é nen veuid;
• dësnò, ${\alpha }^{*}(F)=+\mathrm{\infty }$.

Antlora la fonsion ${\alpha }^{*}$ a l'é na mzura esterior.

N'àutra manera për generé na mzura esterior, a l'é col ëd parte da na famija ${\alpha }_{\lambda }$ dë mzure esterior e definì $\alpha (F)=\underset{\lambda }{\sup }{\alpha }_{\lambda }(F)$ për minca $F\subseteq E$.

Mzure ëd Carathéodory

Na mzura esterior α ansima a në spassi métrich M a l'é dita mzura ëd Carathéodory si, për minca cobia (E,F) ëd sot-ansem d'M a val l'amplicassion $d(E,F)>0\Rightarrow \alpha (E\cup F)=\alpha (E)+\alpha (F)$. Stamp:Fin