Spassi geométrich

Stamp:Prinsipi Ch'as consìdera n'ansem S nen veuid e na sot-famija nen veuida $𝒢$ dl'ansem dle part d'S, visadì $𝒢\in 𝒫(𝒫(S))-\{\mathrm{\varnothing }\}$.
La cobia $(S,𝒢)$ a l'é ciamà në spassi geométrich. J'element d'S a son dit ij pont d'S, la famija $𝒢$ a l'é ciamà strutura geométrica e S a l'é ël sostegn dlë spassi $(S,𝒢)$.

Categorìa djë spassi geométrich

A-i son doe manere naturaj dë struturé la class djë spassi geométrich tanme categorìa, scond ch'as definisso ij morfism antra jë spassi geomètrich $(S,𝒢)$ e $(S^{\prime },{𝒢}^{\prime })$ 'me cole fonsion da S an S' dont le plance dj'element ëd $𝒢$ a son d'element ëd ${𝒢}^{\prime }$ opura dont le contraplance dj'element ëd ${𝒢}^{\prime }$ a son d'element ëd $𝒢$. Ant ël prim cas as oten la categorìa covarianta djë spassi geométrich; ant l'àutr, la categorìa contravarianta.
J'isomorfism dle doe categorìe a son j'istess e a son cole bijession antra S e S' ch'a detèrmino dle bijession antra $𝒢$ e ${𝒢}^{\prime }$. Lë studi djë spassi geométrich a l'é mnà a manch d'isomorfism, visadì an identificand doi spassi geométrich cand a son isomorf.

La geometrìa 'd në spassi

Considerà në spassi geométrich $(S,𝒢)$, ij sò automorfism, visadì j'isomorfism antra $(S,𝒢)$ e chiel-midem, a formo në strop, ciamà strop dë strutura d'$(S,𝒢)$ e denotà $Aut(S,𝒢)$. Lë studi dle proprietà d'$(S,𝒢)$ invariante rëspet a së strop as ciama geometrìa dlë spassi geométrich.

Si $𝒢$ e ${𝒢}^{\prime }$ a son doe struture geométriche d'un midem ansem S, a peul esse che jë strop $Aut(S,𝒢)$ e $Aut(S,{𝒢}^{\prime })$ a sio l'istess. Antlora as dis che le doe struture geométriche a son equivalente.
Për esempi, sòn a ancàpita ansima al pian ${ℝ}^2$ an considerand la famija $ℛ$ dle rete e la famija $𝒯$ dle terne ëd pont nen alinià: j'automorfism a son j'afinità d'${ℝ}^2$.
N'àutr esempi as treuva ansima a ${ℝ}^3$ an considerand la famija ${ℛ}^{\prime }$ dle rete e la famija $𝒫$ dij pian: j'automorfism a son j'afinità d'${ℝ}^3$.

Spassi geométrich finì

Si $(S,𝒢)$ a l'é në spassi geométrich finì, minca bijession $f:S\to S$ ch'a manda element ëd $𝒢$ an element ëd $𝒢$ a l'é n'automorfism.

Si S a l'ha n element, ël nùmer dle struture geométriche ansima a S a l'é $2^{2^n}-1$. D'àutra part, fissà na strutura geométrica $𝒢$ d'S, ël nùmer dle struture su S isomorfe a $𝒢$ a peul pa esse pì gròss che n! (ël nùmer dle bijession d'S). Donca, si g(n) a l'é 'l nùmer dle struture geométriche nen isomorfe antra 'd lor an sn'ansem d'n element, a-i ven che $g(n)\ge \frac{2^{2^n}-1}{n!}$, donca g(n) a l'é na quantità ch'a chërs an pressa cand n a chërs (për esempi, $g(4)\ge 2731,g(5)\ge 35791393$.

Esempi

• Spassi ëd rete.
• Spassi ëd saradura.