Strop

L'ansema ëd tute le posission possìbij dël Cubo 'd Rubik a forma në strop, ciamà strop dël Cubo 'd Rubik

Jë strop a son n'esempi dë strutura algébrica. As trata d'un-a dle nossion pì amportante ant la matemàtica, dzortut ant l'àlgebra, e a l'é motobin rica d'aplicassion, për esempi ant la fìsica e ant la chìmica.

Ël nòm a ven dal fransèis groupe: a l'é 'l nòm dovrà da Galois, che dël 1832 a l'é ancorzusse dl'amportansa dë studié ëd fasson sistemàtica la strutura general dle përmutassion dle rèis dj'equassion polinomiaj. Na definission formal astrata dë strop a l'é stàita smonùa dël 1854 da Arthur Cayley; na codificassion dla teorìa djë strop as treuva ant ël Traité des substitutions ëd Camille Jordan dël 1870.

Definission

La definission dë strop astrat a ven da E.H. Moore.
Në strop a l'é un monòid $G=(G,\cdot )$ anté che minca element a l'ha n'anvers, visadì a l'é n'ansem nen veuid $G$ con n'operassion binaria $\cdot$ ch'a l'ha coste proprietà:

• l'operassion a l'é associativa: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$;
• a-i é n'element nèutr, visadì n'element $1_G\in G$ con la proprietà che $1_G\cdot a=a\cdot 1_G=a$ për minca element $a\in G$;
• për minca element $a$ an $G$ a-i é n'anvers, visadì n'element ëd $G$, denotà $a^{-1}$, con la proprietà che $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1_G$.

S'a-i é gnun privo ëd confondse, soens ël sign dl'operassion $\cdot$ a l'é sotantendù e a së scriv mach ab pitòst che $a\cdot b$.

Dj'element a,b a son ciamà përmutàbij cand ab=ba. Se an në strop G a-i val la proprietà che $a\cdot b=b\cdot a$ për tuti j'$a,b\in G$, G as dis strop comutativ o abelian. Soens jë strop abelian a së scrivo an notassion aditiva (e a son ciamà mòdoj).

Në strop a peul avèj na quantità finìa o infinìa d'element. Ël nùmer d'element ëd në strop finì a l'é ciamà órdin ëd lë strop.

Esempi

$(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(ℝ,+)$, $(\mathbb{Q}\setminus \{0\},\cdot )$,$(ℝ\setminus \{0\},\cdot )$, $(𝒫(I),\mathrm{△})$, $(\mathbb{Z}[X],+)$ a son dë strop abelian.

$(GL(n,ℝ),\cdot )$ a l'é në strop, nen abelian si n>1. Lë strop ëd përmutassion su n'ansem con pì che n'element a l'é nen abelian.

N'esempi amportant dë strop a l'é l'ansem dle simetrìe ëd na figura geométrica, con l'operassion ëd composission.

D'àutri esempi anteressant dë strop as ancontro an ëstudiand la strutura dij cristaj. Ant un cristal, j'àtom ch'a lo formo a son piassà an configurassion regolar, le reitin-e cristalin-e, ch'as arpeto ëd fasson periòdica ant lë spassi: le simetrìe ëd na reitin-a cristalin-a a formo në strop, lë strop cristalogràfich ëd la reitin-a.
La classificassion djë strop cristalogràfich a përmet d'oten-e na classificassion sempia e coerenta dla gran quantità dij cristaj ch'a-i son an natura.

Prime conseguense dla definission

Da la definission dë strop a-i ven-o vàire proprietà elementar.

Proprieta. An në strop minca element a l'ha mach n'anvers.
Dimostrassion. Si a e b a son tuti doi anvers ëd c, a-i ven che a=a(cb)=(ac)b=b.

J'assiòma ëd definission ëd në strop smonù dëdzora a son nen ij pì conòmich possìbij.

Proprietà. Na strutura algébrica G dotà ëd n'operassion assossiativa a l'é në strop s'a l'ha n'element nèutr u a snistra e minca $a\in G$ a l'ha n'anvers a snistra a' rëspet a u. L'istess për le proprietà a drita.
Dimostrassion. Da a'a=u a-i ven a'au=a'a. Da sì, $a^{″}{a}^{\prime }au=a^{″}{a}^{\prime }a$, dont uau=ua e au=u, ch'a veul dì che u a l'é element nèutr ëdcò a drita. Apress, a'aa'=ua'=a' e $a^{″}{a}^{\prime }a{a}^{\prime }=a^{″}{a}^{\prime }=u$, visadì aa'=u e a' a l'é ëdcò anvers d'a a drita.

Proprietà. $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$.
Dimostrassion. $xy{y}^{-1}{x}^{-1}=1_G=y^{-1}{x}^{-1}xy$.

Ant jë strop a valo le proprietà dë scancelassion.

Proprietà. $ca=cb\Rightarrow a=b$. L'istess për la scancelassion a drita.
Dimostrassion. $ca=cb\Rightarrow c^{-1}ca=c^{-1}cb\Rightarrow a=b$.

An dzorpì, an në strop j'equassion linear ax=b e ya=b a l'han tavòta n'ùnica solussion: $x=a^{-1}b$ e $y=b{a}^{-1}$. Da sòn a-i ven la proprietà sì da press.

Proprietà. Fissà $a\in G$, le traslassion snistra ${\sigma }_a(x)=ax$ e drita ${\tau }_a(x)=xa$ a son ëd bijession $G\to G$.

Potense

Pijà n'element a an në strop G as peulo definisse soe potense antreghe pr'andussion:

$a^0=1_G$,

$a^{n+1}=a^{n}a$,

$a^{-n}=(a^n{)}^{-1}$.

A-i na ven antlora, sempe për andussion, che

$a^m{a}^n=a^{m+n}$,

$(a^m{)}^n=a^{mn}$.

Donca, doe potense d'un midem element a son sempe përmutàbij: $a^m{a}^n=a^n{a}^m$.

Morfism

Un morfism o omomorfism antra jë strop G e G' a l'é na fonsion $\phi :G\to G^{\prime }$ tal che $\mathrm{\forall }g,h\in G,\phi (gh)=\phi (g)\phi (h)$.
Si $\phi$ a l'é surietiv, as ciama ëdcò epimorfism; s'a l'é inietiv as ciama ëdcò monomorfism; cand $\phi$ a l'é na bijession, antlora a l'é n'isomorfism e G e G' as diso isomòrfich e sòn as peul ëscrivse $G\simeq G^{\prime }$. N'isomorfism $G\to G$ antra në strop G e chiel-midem a l'é ëdcò ciamà automorfism ëd G.

Proprietà. Si $\phi :G\to G^{\prime }$ a l'é 'n morfism, $\phi (1_G)=1_{G^{\prime }},\phi (a^{-1})=[\phi (a){]}^{-1}$.
Dimostrassion. $\phi (1_G)=\phi (1_G{1}_G)=\phi (1_G)\phi (1_G)$, dont $\phi (1_G)=1_{G^{\prime }}$, pr'ëscancelassion.
$\phi (a^{-1})\phi (a)=\phi (a^{-1}a)=1_{G^{\prime }}=\phi (a{a}^{-1})=\phi (a)\phi (a^{-1})$.

Proprietà. Si $\phi :G\to G^{\prime }$ a l'é n' epimorfism e G a l'é abelian, antlora ëdcò G' a-l l'é.
Dimostrassion. $\phi (a)\phi (b)=\phi (ab)=\phi (ba)=\phi (b)\phi (a)$.

Automorfism anterior

Fissoma n'element a ant lë strop G; consideroma la fonsion ${\mu }_a:G\to G$ definìa da ${\mu }_a(x)=a^{-1}xa$. As trata ëd n'automorfism ëd G, dit automorfism anterior generà da l'element a. J'automorfism anterior ëd në strop G a formo a soa vira në strop, ciamà lë strop anterior ëd G.
Si G a l'é në strop abelian, antlora sò strop anterior a l'ha mach l'element identità, e viceversa.

Sot-ëstrop

Si $H\subseteq G$ e H a l'é ancor në strop rëspet a la restrission dl'operassion ëd G, antlora H as dis sot-ëstrop ëd G.
Për vëdde si un sot-ansem nen veuid $H\subseteq G$ a l'é 'n sot-ëstrop ëd G, a basta verifiché che $h{k}^{-1}\in H$ për minca $h,k\in H$. An efet, sota se ipòtesi, $1_G=h{h}^{-1}\in G$ e $k^{-1}=1_G{k}^{-1}\in G$ për minca $k\in H$.

Për esempi, $n\mathbb{Z}=\{nz\mid z\in \mathbb{Z}\}$ a l'é 'n sot-ëstrop ëd $\mathbb{Z}$.
Dàita na famija nen veuida $ℱ$ ëd sot-ëstrop ëd G, l'antërsession ëd la famija a l'é 'n sot-ëstrop ëd G.
N'àutr esempi ëd sot-ëstrop ëd në strop G a l'é 'l normalisant d'un sot-ansem $A\subseteq G$, visadì $N_A=\{x\in G\mid \mathrm{\forall }a\in A\mathrm{\exists }b\in A,xa=bx\}$.

Për $A\subseteq G$ as definiss ëdcò ël sot-ëstrop ëd G generà da A, visadì ël pì cit sot-ëstrop ëd G ch'a conten A 'me sot-ansem.
Në strop ës dis sìclich s'a l'é generà da n'ùnich element. N'esempi a l'é $\mathbb{Z}$.

Si $\phi :G\to G^{\prime }$ a l'é 'n morfism, $ker(\phi )=\{g\in G\mid \phi (g)=1_{G^{\prime }}\}$ a l'é 'n sot-ëstrop ëd G, ciamà la nos ëd $\phi$, e $\phi (G)$ a l'é 'n sot-ëstrop ëd G'. Pì an general, si H a l'é 'n sot-ëstrop ëd G e H' a l'é un sot-ëstrop ëd G', antlora $\phi (H)$ a l'é un sot-ëstrop ëd G' e ${\phi }^{-1}(H^{\prime })$ a l'é un sot-ëstrop ëd G.

Sot-ëstrop normaj

Si H a l'é un sot-ëstrop ëd G con la proprietà che $\mathrm{\forall }g\in G,g^{-1}Hg=H$, antlora H as dis sot-ëstrop normal ëd G. Për esempi, tuti ij sot-ëstrop ëd në strop abelian a son normaj.

Ij sot-ëstrop normaj ëd G a son tuti e soj coj sot-ëstrop ch'a son nos ëd chèich morfism ch'a l'han G 'me domini.
Esempi ëd sot-ëstrop normaj a son ël sènter $\{x\in G\mid \mathrm{\forall }a\in G,ax=xa\}$ e ël derivà (visadi ël sot-ëstrop generà da l'ansem ëd tuti ij comutator $[x,y]=x^{-1}{y}^{-1}xy$).

Proprietà. Si H e K a son sot-ëstrop ëd G e H a l'é normal, antlora ël sot-ëstrop $H\vee K$ generà da $H\cup K$ a l'é HK.
Dimostrassion. Dagià che $H\cup K\subseteq HK\subseteq H\vee K$ a basta fé vëdde che HK a l'é 'n sot-ëstrop. Pijà $h,l\in H,k,m\in K$, $hk(lm{)}^{-1}=hk{m}^{-1}{l}^{-1}=h{p}^{-1}k{m}^{-1}$ për chèich $p\in H$, donca $hk(lm{)}^{-1}\in HK$.

Proprietà. Si H a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G e $\phi :G\to G^{\prime }$ a l'é n'epimorfism, antlora f(H) a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G'.
Dimostrassion. Si $h\in H,y\in G^{\prime }$, ch'as pija $x\in {\phi }^{-1}(y)$. Antlora $y^{-1}\phi (h)y=\phi (x^{-1}hx)=\phi (h^{\prime })$, për chèich $h^{\prime }\in H$, donca $y^{-1}\phi (h)y\in \phi (H)$.

Proprietà. Si $\phi :G\to G^{\prime }$ a l'é 'n morfism e H' a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G', ${\phi }^{-1}(H^{\prime })$ a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G.
Dimostrassion. Pijà $x\in G,h\in {\phi }^{-1}(H^{\prime })$, as oten che $\phi (x^{-1}hx)=\phi (x^{-1})\phi (h)\phi (x)\in H^{\prime }$.

Strop sempi

Si G a l'ha mach $\{1_G\}$ e G midem 'me sot-ëstrop normaj, antlora G as dis sempi.
Për esempi, jë strop sempi con un nùmer dëscobi d'element a son pròpe jë strop ëd rotassion ëd polìgon regolar con un nùmer prim ëd bande. Në strop alternà su n litre a l'é sempi, gavà ël cas n=4.

Strop cossient

Si H a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G, as peul definisse lë strop cossient G/H, dont j'element a son ij lateraj gH, për $g\in G$, e l'operassion a l'é definìa 'me fHgH=fgH. La projession canonica $g\mapsto gH$ a l'é n'epimorfism $G\to G/H$.

N'esempi dë strop cossient a l'é l'ansem dle class ëd resta mòdol n: ${\mathbb{Z}}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. As trata ëd në strop sìclich. An efet minca strop sìclich infinì a l'é isomòrfich a $\mathbb{Z}$ e minca strop sìclich finì a l'é isomòrfich a chèich ${\mathbb{Z}}_n$.

Proprietà. Si H e K a son sot-ëstrop normaj ëd G e $H\subseteq K$, antlora $G/K\simeq (G/H)/(K/H)$.

Proprietà. Si H e K a son sot-ëstrop ëd G, con K normal, a ven che $H/(H\cap K)\simeq HK/K.$

Teorema fondamental djë strop. Si $\phi :G\to G^{\prime }$ a l'é 'n morfism dë strop, $G/ker\phi \simeq \phi (G)$.

Strop arzolùbij

Në strop G as ciama arzolùbil s'a-i son dij sot-ëstrop $\{1_G\}=N_0\subseteq N_1\subseteq \dots \subseteq N_{r-1}\subseteq N_r=G$, anté che minca $N_{i-1}$ a l'é normal an $N_i$ e $N_i/N_{i-1}$ a l'é abelian. Stamp:Fin