Operassion

Stamp:Prinsipi Consideroma n'ansem E (ëd sòlit nen veuid). As dis operassion (binaria), o laj ëd composission anterna ansima a E qualsëssìa fonsion

$f:E\times E\to E$,

andoa $E\times E$ a l'é 'l prodot cartesian d'E për chiel-midem.

L'operassion a assòcia donca a minca cobia ordinà $(a,b)\in E\times E$ n'element $c=f(a,b)\in E$ ch'as ciama arzultà dl'operassion f aplicà a la cobia ordinà (a,b).

Si $\circ$ a l'é n'operassion ansima a n'ansem E, soens as deuvra la notassion mesan-a, an ëscrivend $a\circ b$ pitòst che $\circ (a,b)$.
An dotand n'ansem E ëd n'operassion $\circ$ as oten n'esempi dë strutura algébrica $(E,\circ )$.

Si $\circ$ a l'é n'operassion an sl'ansem E e $A\subseteq E$, as dis che A a l'é stàbil rëspet a l'operassion si $\mathrm{\forall }a,b\in A,a\circ b\in A$.

Esempi

• Ant la strutura $(\mathbb{N},+)$ l'ansem dij nùmer cobi a l'é stàbil, përchè l'adission ëd doi nùmer cobi a l'é sempe 'n nùmer cobi. Nopà, l'ansem dij nùmer dëscobi a l'é nen ëstàbil.
• Ant la strutura $(\mathbb{N},\cdot )$ l'ansem dij nùmer cobi e l'ansem dij nùmer dëscobi a son tuti doi stàbij, përchè la multiplicassion ëd doi nùmer cobi a l'é cobia e la multiplicassion ëd doi nùmer dëscobi a l'é dëscobia.

Propietà dj'operassion

Consideroma n'operassion $\circ$ definìa an sn'ansem E. A peul esse anteressant ëstudié vàire propietà che l'operassion a peul sodësfé.

Propietà associativa

As dis che l'operassion $\circ$ a l'é associativa si

$\mathrm{\forall }a,b,c\in E,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$.

Ant ës cas-sì, a-i é nen damanca ëd buté le paréntesi cand as fan d'aplicassion sucessive dl'operassion: i podoma bele mach ëscrive

$a\circ b\circ c$

dagià che col ch'a sia l'órdin anté che j'operassion a son calcolà, l'arzultà a cambia pa. L'istess a resta vàlid s'i l'oma pì che un terno d'element.

Na strutura algébrica dotà ëd n'operassion associativa a l'é ciamà semistrop.

Propietà comutativa

J'element a,b as diso përmutàbij si $a\circ b=b\circ a$.
As dis che l'operassion $\circ$ a l'é comutativa si

$\mathrm{\forall }a,b\in E,a\circ b=b\circ a$.

Element neutral

N'element $u\in E$ a l'é dit neutral (o idèntich, o indiferent) për l'operassion $\circ$ si

$\mathrm{\forall }a\in E,u\circ a=a\circ u=a$.

Si la strutura $(E,\circ )$ a l'ha n'element neutral, a-i në j'é mach un: an efet, si u e v a fusso tuti doi d'element neutraj, i l'avrìo

$u=u\circ v=v$.

Notassion comun-e për andiché l'element neutral an na strutura a son 1 (o $1_E$, ciamà un) cand l'operassion a l'é denotà ëd fasson multiplicativa $\cdot$, opura 0 (o $0_E$, ciamà zero) si l'operassion a l'é scrivùa ëd fasson aditiva +.

Element surbent

N'element $u\in E$ a l'é sit surbent për l'operassion $\circ$ si

$\mathrm{\forall }a\in E,u\circ a=a\circ u=u$.

Esempi d'element surbent a son 0 për la multiplicassion e $\mathrm{\varnothing }$ për l'antërsession.

Propietà ch'a ìmplico vàire operassion

A-i é ëd propietà anteressante ch'a rësguardo vàire operassion considerà ansema.

Ch'as consìdero doe operassion ${\circ }_1$ e ${\circ }_2$ tute doe definìe ansima a E.

Distributività

As dis che ${\circ }_1$ a l'é distributiva rëspet a ${\circ }_2$ si, për tuti j'$a,b,c\in E$,

$a{\circ }_1(b{\circ }_{2}c)=(a{\circ }_{1}b){\circ }_2(a{\circ }_{1}c)$

e

$(a{\circ }_{2}b){\circ }_{1}c=(a{\circ }_{1}c){\circ }_2(b{\circ }_{1}c)$.

Morfism

Consideroma n'operassion ${\circ }_1$ ansima a n'ansem $A_1$ e n'operassion ${\circ }_2$ ansima a n'ansem $A_2$. Na fonsion $\mu :A_1\to A_2$ a l'é dita morfism ëd le struture $(A_1,{\circ }_1),(A_2,{\circ }_2)$ s'a l'é compatìbil con j'operassion, visadì

$\mathrm{\forall }a,b\in A_1,\mu (a{\circ }_{1}b)=\mu (a){\circ }_2\mu (b)$.

Esempi

• La fonsion

$\mu :\mathbb{N}\to \mathbb{N},\mu (x)=2x$

a l'é 'n morfism antra le struture $(\mathbb{N},+)$ e $(\mathbb{N},+)$, ma nen antra le struture $(\mathbb{N},\cdot )$ e $(\mathbb{N},\cdot )$.

• La fonsion esponensial

$x\mapsto e^x$

a l'é un morfism antra le struture $(ℝ,+)$ e $(ℝ,\cdot )$.

Chèich propietà dij morfism

Ch'as consìdera un morfism $\mu :A_1\to A_2$ antra le struture $(A_1,{\circ }_1),(A_2,{\circ }_2)$.

• La plancia $\mu (A_1)\subseteq A_2$ a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'$A_2$.
• Si x,y a son element përmutàbij d'$A_1$, antlora μ(x),μ(y) a son element përmutàbij d'$A_2$.
• Si u a l'é element neutral d'$A_1$, antlora μ(u) a l'é element neutral d'$A_2$.