Fonsion esponensial

Stamp:Prinsipi La fonsion logaritm a l'é na fonsion bijetiva ${ℝ}^{+}\to ℝ$. Donca a admet na fonsion anversa, definìa ansima a $ℝ$ e dont la plancia a l'é ${ℝ}^{+}$. Costa fonsion a l'é ciamà fonsion esponensial e denotà expx.

Monotonìa e lìmit

Da la definission, a-i ven che la fonsion expx a l'é chërsenta e che

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\exp x=0$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\exp x=+\mathrm{\infty }$.

Derivà

Dagià che la fonsion f(x)=logx a l'é derivàbil con derivà sempe diferenta da 0, ëdcò soa anversa g(x)=expx a l'é derivàbil e soa derivà ant ël pont x=logy a l'é

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(y)}=y=\exp x$.

Fórmole fondamentaj

An butand x=loga,y=logb, la fórmola logab=loga+logb a equival a

$\exp (x+y)=\exp x\cdot \exp y$,

dont a-i ven che

$\exp rx=(\exp x{)}^r$

për qualsëssìa nùmer rassional r.

N'aplicassion: la definission ëd potensa a esponent real

La fórmola pen-a trovà a përmet dë spantié la defission dla potensa $a^r$ al cas anté che r a l'é 'n nùmer real qualsëssìa, nen mach rassional, e a a l'é 'n nùmer real positiv.
An butand x=loga, i l'oma an efet che, për r rassional,

$a^r=\exp (r\log a)$,

andoa lë scond mèmber a goerna sò sust ëdcò si r a l'é nen rassional: costa ugualiansa a peul esse pijà tanme definission ëd potensa a esponent real qualsëssìa.
An costa manera a resto verificà j'istesse propietà che për la potensa a esponent rassional, visadì

$a^x{a}^y=a^{x+y}$, $a^x{b}^x=(ab{)}^x$, $(a^x{)}^y=a^{xy}$.

An particolar, an denotand con e ël nùmer exp1 (visadì loge=1), i otnoma

$\exp x=\exp (x\log e)=e^x$;

son a përmet ëd denoté mach $e^x$ l'esponensial d'x. An costa forma le propietà ëd costa fonsion a resto mach dij cas particolar dle propietà dle potense.

N'àutra definission dl'esponensial

L'esponensial expx a peul ëdcò esse definì tanme la soma ëd na serie, ch'a sarìa sò dësvlup:

$\exp x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$.

Costa definission as peul ëslarghesse ai valor compless ëd la variàbil x, lòn ch'a përmet dë stabilì la fórmola fondamental

$\exp (x+iy)=e^x(\cos y+i\sin y)$.