Fórmole ëd Taylor

Stamp:Prinsipi La fórmola ëd Taylor a compariss dël 1715 an Methodus incrementorum directa et inversa, ëd Brook Taylor. Soa amportansa a l'é restà dësconossùa fin-a al 1772, cand Joseph-Louis Lagrange a l'ha dila ël fondament prinsipal dël càlcol diferensial.

Cand ël pont d'achit a l'é l'orìgin, la fórmola a la diso fórmola ëd Maclaurin.

Fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano

Ch'as consìdera na fonsion f derivàbil n vire ant ël pont $x_0$. Antlora a val la fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano, con pont d'achit $x_0$:

$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(x_0)(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n)$.

L'adend $o((x-x_0{)}^n)$ a l'é la resta d'órdin n ant la forma ëd Peano. Notoma che cost adend a l'é dla forma $R_n(x-x_0)$, anté che $R_n(h)=\frac{h^n}{n!}\omega (h)$, con $\underset{h\to 0}{\lim }\omega (h)=\omega (0)=0$.

Esempi

Ël dësvlup ëd la fonsion esponensial ant l'orìgin con resta ëd Peano a l'é

$e^x=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$.

Dimostrassion

Për dimostré costa fórmola, a basta fé vëdde che

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-[f(x_0)+h{f}^{\prime }(x_0)+\dots +\frac{h^n}{n!}{f}^{(n)}(x_0)]}{h^n}=0$,

visadì

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-\dots -\frac{h^{n-1}}{(n-1)!}{f}^{(n-1)}(x_0)}{h^n}=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$.

Sòn as peul oten-e an aplicand n-1 vire ël teorema ëd l'Hôpital.

Fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange

Ch'as consìdera na fonsion f real definìa ansima a n'antërval duvert J ch'a conten ël pont $x_0$. Si f a l'é derivàbil n vire ëd fasson continua ansima a s'anterval, e la derivà d'órdin n+1 a esist an tut J gavà miraco ël pont $x_0$, antlora për minca $x\in J$ a-i é un nùmer $c_x$ ch'as treuva antrames tra $x_0$ e x con la proprietà che la diferensa an tra 'l valor dla fonsion e col dël polinòmi ëd Taylor d'órdin n a l'é

$f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c_x)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$.

Costa diferensa $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c_x)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$ as ciama resta ëd Lagrange.

Esempi

La fonsion esponensial, dësvlupà ant l'orìgin an dovrand la fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange, a smon:

$e^x=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac{e^{x_0}}{(n+1)!}{x}^{n+1}$,

për chèich $x_0$ antra 0 e $x_0$.

Dimostrassion

Për ancaminé, ch'as consìdera h>0. An butand

$q(h)=\frac{R_n(h)}{h^{n+1}}$

i l'oma

$f(x_0+h)-f(x_0)-h{f}^{\prime }(x_0)-\dots -\frac{h^n}{n!}{f}^{(n)}(x_0)-h^{n+1}q(h)=0$.

Consideroma adess la fonsion $\phi :[x_0,x_0+h]\to ℝ$ definìa da

$\phi (x)=f(x_0+h)-f(x)-\frac{x_0+h-x}{1!}{f}^{\prime }(x)-$

$-\dots -\frac{(x_0+h-x{)}^n}{n!}-(x_0+h-x{)}^{n+1}q(h)$.

Dagià che f a l'ha derivà continue findi a l'órdin n ant l'antërval duvert J, a-i na ven che $\phi$ a l'é continua ant l'antërval sarà $[x_0,x_0+h]$. An dzorpì, $\phi$ a val 0 a j'estrem ëd cost antërval e a l'é derivàbil an minca pont ëd l'antërval $(x_0,x_0+h]$, con derivà

${\phi }^{\prime }(x)=-\frac{(x_0+h-x{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(x)+(n+1)(x_0+h-x{)}^{n}q(h)$.

Donca a l'é possìbil apliché a $\phi$ ël teorema ëd Rolle, ch'an dis ch'a-i é almanch un pont $c_x\in (x_0,x_0+h)$ anté che ${\phi }^{\prime }(c_x)=0$, visadì

$q(h)=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(c_x)$,

lòn ch'an basta a conclude.
Për h<0 as fa ël midem rasonament.

N'aplicassion

Butoma ël cas, adess, che an dzorpì dj'ipòtesi già considerà, i l'oma ëdcò che $f^{(n+1)}$ a l'é limità an $J-\{x_0\}$, visadì ch'a-i sia n'M>0 tal che $|f^{(n+1)}(x)|\le M$ për minca x. Antlora, la resta a sodisfa la limitassion

$|R_n(h)|\le \frac{|h{|}^{n+1}}{(n+1)!}M$

për minca h tal che $x_0+h\in J$. Sòn an përmet dë stimé l'eror ch'as fà an rampiassand $f(x_0+h)$ con ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n con pont d'achit $x_0$.

Fórmola ëd Taylor për fonsion ëd doe variàbij

La fórmola ëd Taylor as peul adatesse a na fonsion ëd pì che un-a variàbil real.
Ch'a consìdera, për esempi, na fonsion $f:E\subseteq {ℝ}^2\to ℝ$. Ch'as pijo doi pont $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)$ ch'a l'abio tut ël segment an tra 'd lor ant l'anterior d'E. Si an E a-i son e a son contìnoe le derivà parsiaj d'f fin-a a l'órdin $n+1$, antlora:
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+$ $+\sum _{j=1}^n\frac{1}{j!}{(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})}^{j}f(x_0,y_0)+\frac{1}{(n+1)!}{(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})}^{n+1}f(\xi ,\eta )$,
anté che $(\xi ,\eta )$ a l'é 'n pont convenient ant l'anterior dël segment.

Dimostrassion

Ij pont dël segment a l'han coordinà $\{\begin{array}{ccc}x& =& x_0+ht\\ y& =& y_0+kt\end{array},$ për $t\in [0,1]$. Se un a considera la fonsion componùa $F(t)=f(x_0+ht,y_0+kt)$, për la fórmola ëd Maclaurin për le fonsion con mach na variàbil aplicà ant l'antërval [0,1], a-i é $\theta \in ]0,1[$ tal che $F(1)=F(0)+F^{\prime }(0)+\dots +\frac{1}{n!}{F}^{(n)}(0)+\frac{1}{(n+1)!}{F}^{(n+1)}(\theta )$ e da sòn a-i ven l'arzultà an butand $\xi =x_0+h\theta ,\eta =y_0+k\theta$.

Ël darié tèrmin $\frac{1}{(n+1)!}{F}^{(n+1)}(\theta )=\frac{1}{(n+1)!}\sum _{r=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c}n+1\\ r\end{array}\right)\frac{{\partial }^{(n+1)}f}{\partial x^r\partial y^{n+1-r}}(\xi ,\eta )h^r{k}^{n+1-r}$ dl'adission as ciama termo complementar o eror dla fórmola ëd Taylor.

Lassand da banda ël termo complemetar, a-i resta un polinòmi ëd gré n ant le variàbij h,k ch'a apròssima $f(x_0+h,y_0+k)$ për $(h,k)\to (0,0)$.
Për $x_0=y_0=0$ i otnoma la fórmola ëd Maclaurin:

$f(x,y)=f(0,0)+\sum _{j=1}^n{(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y})}^{j}f(0,0)+$

$+\frac{1}{(n+1)!}{(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y})}^{n+1}f(\theta x,\theta y),$ con $\theta \in ]0,1[$.

Ël cas particolar dla fórmola ëd Taylor cand n=1 as ciama teorema dla mojen-a dël càlcol diferensial për na fonsion z=f(x,y):

$f(x_1,y_1)-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(\xi ,\eta )(x_1-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(\xi ,\eta )(y_1-y_0)$,

andoa che $(\xi ,\eta )$ a l'é antern al segment ch'a l'ha 'me estrem ij pont $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$. Stamp:Fin