Fonsion continua

Stamp:Prinsipi Ël concet ëd fonsion continua a l'é un dij pì amportant ant la matemàtica e a l'é gropà s-ciass a col ëd lìmit.

Definission

Se $X$ e $Y$ a son dë spassi topològich, na fonsion $f:X\to Y$ as dis continua si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem duvert d'$Y$ a l'é 'n sot-ansem duvert d'$X$.

Formolassion equivalente

A-i son d'àutre manere equivalente ëd fortì la continuità 'd na fonsion. Ch'as considera torna na fonsion $f:X\to Y$ an tra jë spassi topològich X e Y:

• f a l'é continua si e mach si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem sarà d'Y a l'é 'n sot-ansem sarà d'X;
• f a l'é continua si e mach si $f(\overline{S})\subseteq \overline{f(S)}$ për minca $S\subseteq X$.

Sa dariera formolassion a dà cont dl'intuission ch'a-i é daré al concet ëd fonsion continua: na fonsion a l'é continua cand, dàit n'ansem S e 'n pont x tacà s-ciass a S, l'imàgin d'x a l'é tacà s-ciass a l'imàgin d'S.

Teorema fondamentaj an sle fonsion continue

La continuità 'd na fonsion $f:X\to Y$ a dipend mach d'la topologìa ansima a f(X):

Teorema. Na fonsion $f:X\to Y$ a l'é continua si e mach si $f:X\to f(X)$ a-l l'é.

Teorema. Si $f:X\to Y$ a l'é continua e $A\subseteq X$, antlora la restrission $f{|}_A:A\to Y$ a l'é continua.

Për controlé si na fonsion a l'é continua a basta controlé la definission ansima a na bas dël codomini:

Teorema. Ch'as considera na fonsion $f:X\to Y$ e na bas B d'Y. Antlora f a l'é continua si e mach si $f^{-1}(U)$ a l'é duvert për minca $U\in B$.

Le fonsion continue a son sarà për composission:

Teorema. Si $f:X\to Y,g:Y\to Z$ a son continue, antlora ëdcò $g\circ f:X\to Z$ a l'é continua.

Esempi

• L'identità $X\to X$ a l'é na fonsion continua.
• Si Y a l'é në spassi topològich banal, antlora minca $f:X\to Y$ a l'é continua.
• Si X a l'é në spassi topològich discret, antlora minca $f:X\to Y$ a l'é continua.
• La curva ëd Peano a l'é na fonsion continua $[0,1]\to {ℝ}^2$.

Fonsion continue e spassi métrich

La descrission ëd la continuità dle fonsion an tra spassi métrich as peul desse an dovrand le distanse o ij lìmit dle sequense:

Teorema. Na fonsion $f:X\to Y$ an tra jë spassi métrich (o bele mach pséudo-métrich) (X,d) e (Y,d') a l'é continua si e mach si, dàit $\epsilon >0$ a-i é $\delta >0$ con la proprietà che $d(a,b)<\delta \Rightarrow d^{\prime }(f(a),f(b))<\epsilon$.

Teorema. Na fonsion $f:X\to Y$ an tra jë spassi métrich X e Y a l'é continua si e mach si për minca sequensa convergent $(x_n)$ d'X, la sequensa $(f(x_n))$ a convergg e a val l'ugualiansa $f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)$.

Continuità ant un pont

Dàita la fonsion $f:X\to Y$ an tra jë spassi topològich X e Y, e pijà un pont $x\in X$ as dis che f a l'é continua an x si la contra-imàgin ëd minca anviron d'f(x) a l'é n'anviron d'x.
Ij concet ëd continuità e continuità ant un pont a son gropà dal teorema sì da press.

Teorema. Na fonsion $f:X\to Y$ an tra jë spassi topològich X e Y a l'é continua si e mach si a l'é continua an tuti ij pont d'X.

Omeomorfism

Na bijession $f:X\to Y$ an tra jë spassi topològich X e Y as dis n'omeomorfism cand sia f che soa anversa $f^{-1}$ a son continue. Ant ës cas-sì as dis che X e Y a son omeomòrfich. N'omeomorfism a l'é na bijession ch'a conserva tute le proprietà topològiche. La relassion d'omeomorfism a l'é na relassion d'equivalensa an tra jë spassi topològich.

Esempi

• Doi spassi banal, o doi spassi discret, a son omeomòrfich si e mach si a l'han la midema cardinalità.
• La linia real e minca anterval duvert, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich.
• Doi antervaj sarà dla linia real, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich.
• Ël pian euclidéo ${ℝ}^2$ e 'l sercc duvert $\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$ a son omeomòrfich.

Topologìe déboj

Ël concet ëd fonsion continua a peul esse dovrà për la definission ëd na topologìa ansima a n'ansem X s'as dispon ëd na colession ëd fonsion a valor andrinta a dë spassi topològich: dàita na colession ëd fonsion $F=\{f_a:X\to Y_a\}$ anté che minca $Y_a$ a l'é në spassi topològich, a-i é na topologìa pì cita ëd tute ansima a X ch'a rend continue tute le fonsion $f_a$. Costa topologìa as ciama topologìa débol generà da F. Stamp:Fin