Relassion d'equivalensa

Stamp:Prinsipi As ciama relassion d'equivalensa minca relassion binaria an sn'ansem (ëd sòlit considerà nen veuid) ch'a sia riflessiva, transìtiva e simétrica.

Si $\sim$ a l'é na relassion d'equivalensa ansima a l'ansem M e $a\in M$, i podoma consideré l'ansem

$[a{]}_{\sim }=\{b\in M\mid b\sim a\}$.

Cost ansem a l'é dit classa d'equivalensa d'a e l'element a a l'é dit un sò arpresentant. Si la relassion $\sim$ a l'é ciàira dal contest, cost ansem as peul ëscriv-se bele mach [a].

Armarcoma che da $a\sim a$ a-i ven che $a\in [a]$. Donca gnun-a classa d'equivalensa a l'é veuida.
An dzorpì, i l'oma che doe classe diferente a son sempe disgionzùe e che minca element a aparten sempe a na classa, la soa. Donca l'ansem dle classe d'equivalensa a forma na partission dl'ansem M: a l'é dit ansem cossient e as denòta $M/\sim$. D'àutra part, minca partission P d'ansem M a definiss la relassion d'equivalensa ansima a M smonùa da

$x\equiv y\iff \mathrm{\exists }X\in Px,y\in X$,

dont l'ansem cossient a l'é P.

Esempi

• La relassion d'ugualiansa ansima a n'ansem nen veuid qualsëssìa.
• La relassion $\sim$ ansima a $\mathbb{N}$ definìa da

$a\sim b\iff a+b$ a l'é cobi

a l'é na relassion d'equivalensa, con doe classe: cola dij nùmer cobi e cola dij nùmer dëscobi.

• La relassion ëd parelelism antra le rete dlë spassi a l'é na relassion d'equivalensa, dont le class as ciamo diression.