Serie ëd Taylor

Ch'as considera na fonsion f, real ò complessa, e un nùmer $x_0$. La serie ëd Taylor d'f ant ël pont x, sentrà an $x_0$ a l'é la serie ëd potense

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$

anté che $f^{(k)}(x_0)$ a denòta la derivà d'órdin k an $x_0$. Për che costa serie a sia definìa a venta che f a l'abia derivà ëd minca órdin an $x_0$. La serie ëd Taylor sentrà ant l'orìgin as ciama serie ëd Maclaurin.

Ij troncament dla serie ëd Taylor as ciamo polinòmi ëd Taylor: ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n d'f sentrà an $x_0$ a l'é ël polinòmi

$p_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$

Për ch'a sia definì a venta che la fonsion f a sia derivàbil an a fin-a a l'órdin k. Si f a l'é definìa an x, la diferensa

$R_n(x)=f(x)-p_n(x)$

a l'é la resta d'órdin n an x.

An general, bele si f a l'é definìa an x e a l'ha derivà ëd minca órdin an $x_0$, la serie ëd Taylor a podrìa converge nen. E ëdcò cand a convergg, l'arzultà a podrìa esse diferent da f(x). N'esempi a l'é la fonsion definìa da

f(0)=0 e $f(x)=exp(-\frac{1}{x^2})$.

Costa fonsion a l'é tant piata ant l'orìgin che

$f^{(k)}(0)=0$

për minca k e donca la serie ëd Taylor associà a val 0 daspërtut e a convergg a f(x) mach për x=0.

Dësvlupabilità an serie ëd Taylor

Cand la serie ëd Taylor ëd na fonsion a convergg an n'antërval e an minca pont ëd s'antërval soa soma a l'é 'l valor ëd la fonsion, as dis che la fonsion a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor con pont d'achit $x_0$ ant l'antërval.

Teorema. Për che na fonsion f, derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) dont ël pont $x_0$ a aparten-a, a sia dësvlupàbil an serie ëd Taylor a venta e a-i basta che për minca $x\in (a,b)$ la resta $R_n(x)$ a sia infinitésima.

Da sòn a-i ven na condission suficenta për la dësvlupabilità.

Teorema. Si la fonsion f a l'é derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) e s'a-i son doi nùmer reaj L,M taj che për qualsëssìa antregh $n\ge 0$ e për minca $x\in (a,b)$ a val la disugualiansa

$|f^{(n)}(x)|\le M{L}^n$,

antlora f a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor ant l'antërval (a,b), për qualsëssìa pont d'achit $x_0$.

Dimostrassion. La forma ëd Lagrange dla resta d'órdin n a smon

$R_n(x)=\frac{(x-x_0{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\xi )$,

anté che $\xi$ a l'é 'n valor convenient antra $x_0$ e x, visadì $\xi =x_0+\theta (x-x_0)$, con $0<\theta <1$. Da j'ipòtesi a-i ven antlora che

$|R_n(x)|\le \frac{(L(b-a){)}^{n+1}}{(n+1)!}M\to 0$.

Esempi ëd dësvlup

Da 's darié criteri, a-i ven pr'esempi che le fonsion $e^x,\sin x,\cos x$ a son dësvlupàbij an qualsëssìa antërval ch'a conten-a l'orìgin pijà tanme pont d'achit. Ij dësvlup a resto:

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots$,

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots$,

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots$