Logaritm ëd Napier

Stamp:Prinsipi La fonsion $\frac{1}{x}$ a l'é na fonsion continua an sla semireta ${ℝ}^{+}$. Donca a esisto dle fonsion, definìe a manch ëd na costanta aditiva ansima a ${ℝ}^{+}$, ch'a son le primitive d'$\frac{1}{x}$, visadì dont la derivà a l'é $\frac{1}{x}$.
As ciama logaritm (ëd Napier) cola dle primitive d'$\frac{1}{x}$ ch'as anula për x=1. A l'é denotà logx.

Chèiche propietà dël logaritm

Da la definission a-i ven che log x a l'é na fonsion derivàbil, e donca continua. Dagià che soa derivà a l'é positiva, as trata ëd na fonsion chërsenta.

Fórmola fondamental

Fissoma un nùmer real a>0 e consideroma la fonsion definìa ansima a ${ℝ}^{+}$ da $f_a(x)=\log ax$. Costa fonsion a l'é derivàbil e soa derivà a l'é ${f_a}^{\prime }(x)=\frac{a}{ax}=\frac{1}{x}$. Donca $f_a(x)-\log x$ a l'é na costanta, ugual a $f_a(1)=\log a$. Da sòn a-i ven la fórmola fondamental ch'a fortiss che, për qualsëssìa nùmer reaj positiv a,b,

logab=loga+logb.

Da costa as oten che për minca real a>0 e minca natural n, a val l'ugualiansa

$\log a^n=n\log a$

e, pì an general,

$\log a^r=r\log a$

për qualsëssìa nùmer rassional r. Parèj as oten ëdcò che

$\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$,

si a e b a son positiv.

Lìmit

La sequensa $\log 2^n=n\log 2$ a divergg a $+\mathrm{\infty }$, dagià che log2>log1=0. Sòn e la chërsensa dla fonsion a ìmplico che

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\log x=+\mathrm{\infty }$.

Da la relassion $\log \frac{1}{y}=-\log y$ a-i ven ëdcò che

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$.

Ël dësvlup dël logaritm

La fonsion logaritm a peul esse dësvlupà tanme:

$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$.