Prodot cartesian

Stamp:Prinsipi Ël prodot cartesian dj'ansem A e B, denotà $A\times B$, a l'é la colession ëd tute le cobie ordinà (a,b) anté che $a\in A,b\in B$.

Propietà

• Si $A_1\subseteq A$ e $B_1\subseteq B$, antlora $A_1\times B_1\subseteq A\times B$.

Ël prodot cartesian a l'é nen comutativ, ma a l'é distributiv, a snistra e a drita, rëspet a l'union e a l'antërsession:

• $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$,
• $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$,
• $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$,
• $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$.

Generalisassion

Pì an general, si $A_1,\dots ,A_n$ a son d'ansem, sò prodot cartesian $A_1\times \dots \times A_n$ a l'é l'ansem ëd tute j'n-uple ordinà $(a_1,\dots ,a_n)$ andoa $a_1\in A_1,\dots ,a_n\in A_n$.

Cand tuti ij fator $A_i$ a son uguaj a 'n midem ansem A, sò prodot cartesian a l'é ëdcò dit potensa cartesian-a e denotà $A^n$. N'esempi amportant a l'é cand tuti ij fator a son uguaj a $ℝ$: la potensa cartesian-a a smon un model matemàtich ëd lë spassi ëd dimension n.
As definiss la diagonal d'$A^2$ tanme $\{(a,a){\}}_{a\in A}$.

Ancor pì an general, as peul definisse ël prodot cartesian ëd na famija qualsëssìa d'ansem $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in T}$ anté che T a l'é n'ansem nen veuid d'ìndes. Antlora sò prodot cartesian a l'é

$\prod _{\alpha \in T}{A}_{\alpha }=\{f:T\to \bigcup _{\alpha \in T}{A}_{\alpha }\mid \mathrm{\forall }\alpha \in Tf(\alpha )\in A_{\alpha }\}$.