Equassion algébrica

Stamp:Prinsipi N'equassion algébrica a l'é n'ugualiansa dla forma $p(x)=0$, anté che $p(x)$ a l'é un polinòmi. Ël gré dël polinòmi a l'é ëdcò ciamà gré dl'equassion. Ij coefissient dël polinòmi a son ciamà coefissient ëd l'equassion. Minca x ch'a sodisfa l'ugualiansa p(x)=0 a l'é ciamà solussion o rèis.

Ël teorema fondamental dl'àlgebra

Ël teorema fondamental dl'àlgebra a fortiss che minca equassion algébrica a coefissient compless ëd gré $n\ge 1$ a l'ha 'd solussion.
Parèj, si $p(x)=a_n{x}^n+\dots +a_0=0$ a l'é l'equassion, con $a_n\ne 0$ e si $x_1$ a n'é solussion, për ël teorema 'd Ruffini l'equassion a resta equivalenta a $a_n(x-x_1)q(x)$ anté che q(x) a l'é 'n polinòmi mònich ëd gré n-1. Si n-1>0 as peul apliché torna 's rasonament fin-a a oten-e n'equassion equivalenta dla forma $a_n(x-x_1{)}^{{\mu }_1}\cdot \dots \cdot (x-x_r{)}^{{\mu }_r}=0$ anté che $x_1,\dots ,x_r$ a son le solussion distinte dl'equassion e ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_r$ soe multiplissità (o órdin), con ${\mu }_1+\dots +{\mu }_r=n$. Da sòn a-i ven che përchè $\xi$ a sia solussion ëd multiplissità $\mu$ dl'equassion p(x)=0 a venta e a-i basta che $p(\xi )=p^{\prime }(\xi )=\dots =p^{(\mu -1)}(\xi )=0,p^{(\mu )}(\xi )\ne 0$, anté che $p^{\prime },\dots ,p^{(\mu )}$ a son le prime $\mu$ derivà ëd p.

Ch'as considera adess n'equassion algébrica p(x)=0 dont tuti ij coefissient a sio 'd reaj e dont $\alpha +i\beta$ a sia solussion ëd multiplissità $\mu$; antlora ëdcò $\alpha -i\beta$ a l'é solussion dël midem órdin $\mu$. Donca minca equassion algébrica a coefissient reaj ëd gré dispar a l'ha almanch na solussion real.

Fórmole d'arzolussion

J'equassion algébriche ëd gré fin-a al quart a admëtto fórmole algébriche për trové le solussion, visadì le solussion a son otnùe an fonsion dij coefissient an dovrand na quantità finìa d'adission, multiplicassion, sotrassion, division, estrassion ëd rèis. Sòn a l'é già pì nen possìbil për j'equassion algébriche generaj ëd quint gré, 'me dimostrà da Abel dël 1824 (la dimostrassion a l'é stàita pùblicà an sël giornal ëd Crelle).

N'enonsià esplìcit ëd condission necessarie e bastèivoj për che n'equassion algébrica as peussa arzòlve ëd fasson algébrica a l'é stàit otnù da Galois. An terminologìa moderna a fortiss che n'equassion algébrica a l'é arzolùbil për radicaj si e mach si lë strop ëd Galois associà a l'é në strop arzolùbil.

Equassion ëd 1^m gré

Dàita n'equassion ëd prim gré ax+b=0 a coefissient ant un camp, con $a\ne 0$, l'ùnica solussion a l'é $x=-\frac{b}{a}$.

Equassion ëd 2^nd gré

Përchè n'equassion ëd second gré $a{x}^2+bx+c=0$ a coefissient ant un camp, con $a\ne 0$, a l'abia 'd solussion, a venta e a-i basta ch'a-i sia ant ël camp n'element $\delta$ tal che ${\delta }^2=b^2-4ac$. Ant ës cas-sì le solussion a son $\frac{-b\pm \delta }{2a}$.

Relassion an tra coefissient e rèis

Ant l'equassion algébrica $a_n{x}^n+\dots +a_0=0$ ëd gré n, la soma dij prodot dle solussion, arpetùe conforma a soe multiplissità, pijà a k a la vira, a resta ugual a $(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$. An particolar la soma dle solussion a l'é $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ e sò prodot a l'é $(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$.

Discriminant

Ël discriminant dl'equassion algébrica $a_n{x}^n+\dots +a_0=0$ a l'é 'l nùmer

$D=a_n^{2n-2}det\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3& \dots & {\alpha }_n\\ {\alpha }_1^2& {\alpha }_2^2& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_n^2\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ {\alpha }_1^{n-1}& {\alpha }_2^{n-1}& {\alpha }_3^{n-1}& \dots & {\alpha }_n^{n-1}\end{array}\right]=a_n^{2n-2}\prod _{i>j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2,$

anté che ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ a son le solussion arpetùe conforma a soe multiplissità. Për esempi, ël discriminant ëd n'equassion ëd second gré a rèis reaj $a{x}^2+bx+c=0$ a l'é $\sqrt{b^2-4ac}$.
Donca, për che n'equassion algébrica a l'abia solussion mùltiple, a venta e a-i basta che sò discriminant a sia zero. Ël determinant ch'a compariss ant la fórmola dël discriminant as ciama determinant ëd Cauchy-Vandermonde.

Nùmer algébrich

Ij nùmer compless ch'a son solussion ëd n'equassion algébrica a coefissient antregh as ciamo nùmer algébrich. Tuti ij rassionaj a son algébrich, përchè solussion ëd n'equassion ëd prim gré a coefissient antregh. Ij nùmer nen algébrich as diso trassendent.

L'ansem dij nùmer algèbrich a l'é numeràbil, antant che col dij nùmer trassendent a-l l'é nen.

Stòria

Ij prim esempi d'equassion algébriche ch'a son rivane as treuvo ant ël papir Rhind, apopré dël 1700 o 1650 aGC. Stamp:Fin