Camp (matemàtica)

Stamp:Prinsipi An matemàtica, un camp a l'é na strutura algébrica. Pì ëd precis, a l'é n'ansem anté ch'as peulo fesse d'adission, sotrassion, multiplicassion e division (për bon-a part dj'element).

Ij camp pì clàssich a son ël camp dij nùmer rassionaj (denotà $\mathbb{Q}$), ël camp dij nùmer reaj (denotà $ℝ$), ël camp dij nùmer compless (denotà $ℂ$) e ël camp ${𝔽}_p$ dle class ëd resta mòdul p anté che p a l'é un nùmer prim.

La teorìa dij camp a l'é ciamà da cheidun teorìa ëd Galois; tutun, la teorìa ëd Galois a l'é bin ël métod dë studi ch'as àplica an particolar ai camp, lòn ch'a na forma l'esempi stòrich, ma a së spantia ëdcò a motobin d'àutri setor, dont lë studi dj'equassion diferensiaj (teorìa ëd Galois diferensial), o dj'arvestiment.

Definission e esempi

Definission

Un camp a l'é n'ansem K dotà ëd doe operassion, denotà soens + e ×, ch'a sodisfo le proprietà sì-da press:

• (K, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
• (K - {0}, ×) a forma un grop comutativ (cheidun ant la definission ëd camp a ciama nen che la multiplicassion a sia comutativa; d'àutri, ant ës cas-sì, a parlo ëd còrp);
• la multiplicassion a l'é distributiva rëspet a l'adission, visadì

$\mathrm{\forall }(a,b,c)\in K^3,a\times (b+c)=a\times b+a\times c;$

As parla antlora dël camp (K, +, ×).

Ij prim camp ëstudià a son ëstàit j'ansem ëd nùmer (rassionaj, réaj, compless, algébrich).

Esempi ëd camp

• L'ansem dij nùmer rassionnaj, $(\mathbb{Q},+,\times )$ a l'é un camp.
• L'ansem dij nùmer reaj $(ℝ,+,\times )$ a l'é un camp.
• L'ansem dij nùmer compless $(ℂ,+,\times )$ a l'é un camp.
• An aritmética modular, l'ansema $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,\times )$ anté che p a l'é un nùmer prim a l'é un camp.
• L'ansem ëd tute le fonsion rassionaj reaj a l'é 'n camp, rëspet a j'operassion d'adission e multiplicassion ëd fonsion.

Un sot-camp d'un camp K a l'é 'n sot-ansem nen veuid L ëd K, stàbil rëspet a + e $\times$, tal che L con j'operassion ardità da K a sia ancor un camp.

Caraterìstica

S'a-i é n'antregh natural n>0 tal che $1+1+\cdots +1$ (con n termo) a l'é zero, as dis che la caraterìstica dël camp ël pì cit antegr nen nul ch'a l'ha costa proprietà. S'a-i na i-é gnun, as dis che ël camp a l'é ëd caraterìstica zero (o infinìa).

Ël camp $ℝ$ a l'ha caraterìstica zero, mentre che ël camp $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ a l'é ëd caraterìstica p. As dimostra ch'un camp a l'ha tavòta caraterìstica 0 opura un nùmer prim.

Camp finì

Costi a son ij camp dont ël nùmer dj'element a l'é finì. Lë studi dij camp finì a l'é rivà tard ant lë studi dij camp. As dimostra che un ant un còrp finì la multiplicassion a l'é tavòta comutativa, e che soa cardinalità a l'é un nùmer prim.

Camp e anel

L'ansema $(\mathbb{Z},+,\times )$ a l'é pà un camp përchè la pì part dj'element ëd ${\mathbb{Z}}^{*}$ a son nen anvertìbij: për esempi, a-i é gnun antegr relativ n tal che 2n = 1, donca 2 a l'é nen anvertìbil.

Pì an general, n'ansem A dotà ëd doe operassion + e × taj che:

• (A, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
• (A-{0}, ×) a forma un monòid;
• la multiplicassion a l'é distributiva për l'adission (a snistra tanme a drita);

a l'é n'anel unitari.

Se l'anel a l'é 'n domini d'antegrità, visadì a l'é comutativ e

$\mathrm{\forall }(a,b)\in A^2,ab=0\Rightarrow a=0\text{ opura }b=0$,

l'anel a l'é scasi un camp përchè a-j manca mach pì l'anvertibilità për la multiplicassion. As a dimostra antlora che as a peul mojé l'anel an sò camp dle frassion, che a l'é ël pì cit camp ch'a conten l'anel.

Esempi : $\mathbb{Q}$ a l'é ël camp dle frassion ëd $\mathbb{Z}$.

Camp e spassi vetoriaj

An ancaminand con ël camp $ℝ$, a l'é natural d'anteressesse a ${ℝ}^n$, l'ansem dj'n-uple ëd reaj. As peulo definisse ëd fasson natural n'adission e na multiplicassion për un real. La strutura definìa parèj (n'adission anterna ch'a dà a l'ansem na strutura ëd grop comutativ e na multiplicassion esterna ch'a l'ha dle proprietà ëd distributività e d'assossiatività) a l'é ciamà spassi vetorial ansima a $ℝ$. A ven antlora natural defini lòn ch'a l'é në spassi vetorial ansima a un camp K qualsëssìa.

Camp e equassion algébriche

Lë studi dij polinòmi a coefissient ant un camp e l'arserca ëd soe rèis a l'ha motobin dësvlupà la nossion ëd camp. Si f a l'é un polinòmi ëd gré n ansima a un camp K, l'equassion f(x) = 0 a l'é n'equassion algébrica an K. Se, an dzorpì, f a l'é un polinòmi ireduvìbil, l'equassion as dis ireduvìbil. Cand n a l'é ugual o pì grand che doi, trové le solussion ëd n'equassion parèj a ciama ëd butesse ant un camp pì grand che K, visadì n'estension ëd camp.

Për esempi, l'equassion $x^2-2=0$ a l'é ireduvìbil an $\mathbb{Q}$ ma a l'ha 'd rèis an $ℝ$ o, con pì precision, an $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$. L'equassion $x^2+1=0$ a l'ha nen ëd solussion an $ℝ$ ma a 'n n'ha an $ℂ$ o, con pì precision, an $\mathbb{Q}[i]$.

Ël camp dë s-cianch d'un polinòmi a l'é un camp minimal ch'a conten K e na rèis d'f.

Ël camp ëd dëscomposission ëd f a l'é ël pì cit camp ch'a conten K parèj che tute le rèis d'f.

Lë studi dij camp ëd dëscomposission d'un polinòmi e dël grop ëd përmutassion ëd soe rèis a forma la branca dla matemàtica ch'as ciama la teorìa ëd Galois.

Camp ordinà

Un camp ordinà a l'é un camp K dotà ëd na relassion d'órdin $\le$ ch'a sodisfa le condission:

$\mathrm{\forall }x,y,z\in K,x\le y\Rightarrow x+z\le y+z$,

$\mathrm{\forall }x,y,z\in K,z\ge 0\wedge x\le y\Rightarrow zx\le zy$.

Da sòn a-i ven ëdcò che

$z>0\wedge x<y\Rightarrow zx<zy$.

An dzorpì, për minca element x, un a l'ha $x^2\ge 0$. An efet, $0^2=0\ge 0$ e $x^2\ge x0=0$ cand x>0; si nopà x<0, antlora 0<-x e donca da x<0 un a oten $-x^2<-x0=0$, dont $0<x^2$.
'Me conseguensa, $0<1^2=1$ e, si x>0, ëdcò x+1>0 dagià che 0<1<x+1.

Për tut camp ordinà K a-i é, e a l'é ùnica, n'iniession $\rho :\mathbb{Q}\to K$ ch'a rispeta la strutura, visadì:

• $\rho (0)=0,\rho (1)=1$,
• $\rho (x+y)=\rho (x)+\rho (y),\rho (xy)=\rho (x)\rho (y)$,
• $x\le y\iff \rho (x)\le \rho (y)$.

L'órdin ëd tut camp ordinà a l'é satì e a l'ha ni element mìnim, ni màssim.

Esempi

Ël camp ëd le fonsion rassionaj reaj a l'é ordinà da la relassion

$f\le g\iff \mathrm{\exists }x,\mathrm{\forall }y\ge x,f(y)\le g(y)$.

As trata d'un camp nen archimedien.

Àutre branche dë studi

As artreuva la teorìa dij camp ant lë studi ëd chèiche fonsion tanme le fonsion rassionaj o le fonsion elìtiche.

Stòria

Fin-a al sécol ch'a fa XIX, j'ansem ëd nùmer a smijavo tant naturaj che gnun a l'era preocupasse ëd dèje un nòm, e gnanca ëd defini con precision soa strutura. Tutun, con lë s-ciòde dlë studi dij nùmer algébrich, a son ëspontà ansem ëd nùmer diferent daj rassionaj, ij reaj e ij compless. A l'é vnuje da manca ëd precisè la strutura ëd camp, peui la nossion d'antegr ansima a's camp e, për finì, la nossion d'anel. Coste nossion a son euvra dla scòla alman-a. A l'é sàit Richard Dedekind che a l'ha definì për la prima vira la strutura ëd camp (Körper an alman) e costa a l'é la rason për che soens ij camp a son denotà K. La strutura ëd camp a rintra an na gerarchìa ch'a comprend ij monòid, ij grop, j'anej, ij còrp e a l'é a l'adoss dla definission dë spassi vetorial, e d'àlgebra.