Anel

Definission

As ciama anel na strutura algébrica $(A,+,\cdot )$, anté che:

• (A,+) a l'é në strop comutativ, dont l'element identità a l'é 'd sòlit denotà 0 o $0_A$;
• $(A,\cdot )$ a l'é un semistrop, visadì ël prodot (o multiplicassion) $\cdot$ a l'é associativ: a(bc)=(ab)c për tuti j'$a,b,c\in A$;
• a son vàlide le doe distributività: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ e $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ për tuti j'$a,b,c\in A$.

J'element a,b dl'anel A as diso përmutàbij si ab=ba. Për minca cobia d'element përmutàbij ëd n'anel a val la fórmola dël binòmi.
N'anel comutativ a l'é n'anel anté che la multiplicassion a l'é comutativa: $ab=ba$ për tuti j'$a,b\in A$.

N'anel con unità a l'é n'anel anté ch'a-i é n'element, ëd sòlit denotà 1 o $1_A$, ch'a l'é element identità për ël prodot, visadì $1_{A}a=a{1}_A=a$ për minca $a\in A$. An d'àutre paròle, n'anel con unità a l'é n'anel anté che $(A,\cdot )$ a l'é un monòid.

Esempi d'anej

• Ch'as consìdera në strop comutativ G. Definioma an G un prodot an butant $xy=0_G$ për minca $x,y\in G$. Antlora $(G,+,\cdot )$ a l'é n'anel.
• L'ansem dle class ëd congruensa con soe operassion a l'é n'anel.
• Ch'as fissa në strop abelian (G,+) e ch'as consìdera l'ansem E ëd tuti ij morfism dë strop $G\to G$, con l'adission f+g an E definìa da

$\mathrm{\forall }x\in G,(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.

Parèj, (E,+) a ven a esse në strop abelian. Consideroma tanme prodot an E l'operassion ëd composission. Costa operassion a l'ha n'element unità, ch'a l'é l'identità ëd G. An dzorpì, a valo le propietà distributive d'ës prodot rëspet a l'adission. An efet, për minca $f,g,h\in E$ e $x\in G$,

[f(g+h)](x)=f[(g+h)(x)]=f[g(x)+h(x)]=fg(x)+fh(x)=(fg+fh)(x) e

[(f+g)h](x)=(f+g)[h(x)]=f[h(x)]+g[h(x)]=(fh)(x)+(gh)(x)=(fh+gh)(x).

Donca, rëspet a coste operassion, E a l'é n'anel con unità (an general nen comutativ). A l'é dit anel dj'endomorfism dlë strop G.

• N'esempi d'anel nen comutativ e sensa unità as peul oten-e an partend da lë strop {0,1,2,3} dle class ëd resta mòdol 4 e definendje un prodot përparèj:

$0\cdot x=x\cdot 0=0$,

$1\cdot 1=1,1\cdot 2=2,1\cdot 3=3$,

$2\cdot 1=2\cdot 2=2\cdot 3=0$,

$3\cdot 1=1,3\cdot 2=2,3\cdot 3=3$.

• L'ansem ${ℝ}^{ℝ}$ dle fonsion reaj ëd variàbil real a l'é n'anel con j'operassion d'adission e multiplicassion pontoal:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),

(fg)(x)=f(x)g(x).

• J'anej ëd Boole.

Chèiche propietà elementar

Ch'as consìdera n'anel A. Da la definission as peulo dimostresse vàire propietà elementar.

• $a{0}_A=0_{A}a=0_A$ për minca $a\in A$.

An efet, $a{0}_A=a(0_A+0_A)=a{0}_A+a{0}_A$ e $0_{A}a=(0_A+0_A)a=0_{A}a+0_{A}a$. Dagià che (A,+) a l'é në strop, as peul gavesse $a{0}_A$ da minca banda dla prima equassion e $0_{A}a$ da minca banda dla sconda e oten-e la conclusion vorsùa.

• (-a)b=a(-b)=-(ab) për minca $a,b\in A$.

An efet, $ab+((-a)b)=(a+(-a))b=0_{A}b=0_A=a{0}_A=a(b+(-b))=ab+a(-b)$.

• Për minca nùmer natural n e minca $a,b\in A$ a valo j'ugualianse (na)b=n(ab)=a(nb).

An efet, an dovrand la propietà distributiva, (na)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=n(ab). Ant l'istessa manera, a(nb)=a(b+b+...+b)=ab+ab+...+ab=n(ab).

• Ël prodot a l'é distributiv ëdcò rëspet a la diferensa: për minca $x,y,z\in A$, a valo j'ugualianse x(y-z)=xy-xz e (x-y)z=xz-yz.

An efet, x(y-z)=x[y+(-z)]=xy+x(-z)=xy+(-xz)=xy-xz. Ant l'istessa manera, (x-y)z=[x+(-y)]z=xz+(-y)z=xz+(-yz)=xz-yz.

A l'é possìbil che an n'anel con unità $0_A=1_A$, ma ant ës cas-sì da le propietà sì-dzora a-i ven che $A=\{0_A\}$. An efet, pijà qualsëssìa $x\in A$, i l'oma che $0_A=x{0}_A=x{1}_A=x$.

Sot-anej

Un sot-ansem B ëd n'anel A as dis stàbil, o sarà, si $x+y,xy\in B$ për qualsëssìa $x,y\in B$.
Un sot-anel d'A a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A ch'a sia ëdcò chiel n'anel, dotà dj'operassion d'A.

Condission necessaria e bastèivola përchè un sot-ansem B d'A a na sia un sot-anel e l'é che $0_A\in B$ e $a+b,ab,-a\in B$ për minca $a,b\in B$. Na condission equivalenta a l'é che $0_A\in B$ e $a-b,ab\in B$ për minca $a,b\in B$.

Minca sot-anel ëd n'anel comutativ a l'é 'dcò chiel comutativ.

Esempi

• Antra ij sot-anej ëd n'anel A a-i son sempe $\{0_A\}$ e A midem, ch'a son dit sot-anej impròpi. Tuti j'àutri sot-anej, s'a-i na son, a son dit pròpi.
• Si B a l'é sot-anel d'A e C a l'é sot-anel ëd B, antlora C a l'é sot-anel d'A.
• Si B e C a son sot-anej d'A e $C\subseteq B$, antlora C a l'é ëdcò sot-anel ëd B.
• Dàita na famija nen veuida $ℱ$ ëd sot-anej d'A, l'antërsession ëd costa famija a l'é 'n sot-anel d'A. Donca a esist ëdcò ël pì cit sot-anel ch'a conten minca element d'$ℱ$: as treuva an pijand l'antërsession ëd tuti ij sot-anej ch'a conten-o l'union d'$ℱ$ (e a-i na j'é almanch un, visadì A midem). An general, l'union d'$ℱ$ a l'é nen un sot-anel.
• Ant l'anel ${\mathbb{Z}}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ dle class ëd resta mòdol 6, ël sot-ansem B={0,2,4} a l'é 'n sot-anel.
• Për minca nùmer natural n, l'ansem $n\mathbb{Z}$ dij mùltipl antregh d'n a l'é 'n sot-anel ëd $\mathbb{Z}$. Për $n\in \{0,1\}$ i l'oma ij sot-anej impròpi. Armarcoma che, për $n\ge 2$, as trata 'd sot-anej sensa unità.
• Consideroma un sot-ansem I ëd n'anel A e definioma $C_I=\{a\in A\mid \mathrm{\forall }u\in I,au=ua\}$. As agiss d'un sot-anel d'A. An efet:

$0_A\in C_I$;

pijà $a_1,a_2\in C_I$ e $u\in I$ i l'oma $(a_1-a_2)u=a_{1}u-a_{2}u=u{a}_1-u{a}_2=u(a_1-a_2)$ e $(a_1{a}_2)u=a_1(a_{2}u)=a_1(u{a}_2)=(a_{1}u)a_2=(u{a}_1)a_2=u(a_1{a}_2)$; donca $a_1-a_2,a_1{a}_2\in C_I$.

Ël sot-anel $C_A$ a l'é dit ël sènter ëd l'anel A.

• Ch'as consìdera l'anel $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ con j'operassion definìe për componente:

$(m,n)+(h,k)=(m+h,n+k)$,

$(m,n)(h,k)=(mh,nk)$.

As agiss ëd n'anel con unità (1,1). Ël sot-ansem $\mathbb{Z}\times \{0\}$ a l'é 'n sot-anel, con unità 'dcò chiel, ma soa unità a l'é (1,0).

Anej prodot

Ch'as consìdera na famija nen veuida $\{R_i{\}}_{i\in I}$ d'anej. L'anel prodot diret a l'é otnù dal prodot cartesian $R=\prod _{i\in I}{R}_i$ an definend j'operassion për componente:

• (a+b)(i)=a(i)+b(i),
• (ab)(i)=a(i)b(i).

Ël zero dl'anel prodot a l'é l'element definì da $0_R(i)=0_{R_i}$, për minca $i\in I$ e l'opòst -a ëd l'element $a\in R$ a l'é definì da (-a)(i)=-a(i) për minca $i\in I$.
Da costa definission a-i ven, an particolar, che R a l'é comutativ si e mach si minca $R_i$ a-l l'é. Si tuti j'anej ëd la famija a l'han n'unità, antlora ëdcò ël prodot diret a-l l'ha: a l'é l'element dont tute le componente a son l'unità ant ël fator corëspondent.

Si për minca $j\in J$ i pijoma un sot-anel $B_j$ d'$R_j$, i otnoma un sot-anel $\prod _{j\in J}{B}_j$ dël prodot diret.

Divisor ëd zero

An n'anel A, n'element x diferent da $0_A$ as dis divisor ëd zero a snistra s'a esist n'element y an A, diferent da $0_A$ tal che $xy=0_A$. Ant l'istessa manera as definisso ij divisor ëd zero a drita. Noté che si x a l'é divisor ëd zero a snistra, e $y\ne 0$ a l'é tal che $xy=0_A$, antlora y a l'é divisor ëd zero a drita.

As dis che an n'anel a val ël prinsipi d'anulament dël prodot si l'ùnica manera për un prodot d'esse $0_A$ a l'é che almanch un dij doi fator a sia $0_A$, visadì ch'a-i sio pa ëd divisor ëd zero.

Esempi

• Ant l'anel ${\mathbb{Z}}_6$ dle class ëd resta mòdol 6 a-i son ëd divisor ëd zero; tutun ël sot-anel {0,2,4} a-n n'ha pa.
• Fissà 'n nùmer natural $n\ge 1$, l'ansem dle matris quadrà reaj d'órdin n con soe operassion d'adission e prodot riga për colòna a l'é n'anel. Si $n\ge 2$, ël prodot a l'é nen comutativ e a-i son ëd divisor ëd zero: për esempi, denotà $E_{ij}$ la matris fàita tuta da 0, gavà n'1 al pòst (i,j), si $j\ne h$ i l'oma che $E_{ij}{E}_{hk}$ a l'é la matris con tuti 0.

Propietà. An n'anel A a valo le laj ëd simplificassion dël prodot si e mach si a-i son nen ëd divisor ëd zero.

Dimostrassion. Si an A a-i son ëd divisor ëd zero, ch'as consìdero doi element x e y diferent da $0_A$ taj che $xy=0_A$. Antlora $xy=x{0}_A$, ma $y\ne 0_A$. Ant l'istessa manera as fa vëdde che ël prodot as peul nen simplifichesse a drita.
Për l'anvers, suponoma che ël prodot a sia nen simplificàbil a snistra (l'istess rasonament as fa s'a l'é nen simplificàbil a drita). Antlora a-i son d'element $x,y,z\in A$, con $x\ne 0_A$ e $y\ne z$, taj che xy=xz. A-i na ven che $x(y-z)=xy-xz=0_A$ e donca ch'a-i son ëd divisor ëd zero.

Armarché che dì che n'anel A a l'ha pa 'd divisor ëd zero a l'é l'istess che dì che $A-\{0_A\}$ a l'é 'n sot-semistrop dël semistrop $(A,\cdot )$.

N'anel comutativ sensa divisor ëd zero as dis domini d'antegrità.

La caraterìstica 'd n'anel

Consideroma n'anel A e n'element $x\in A$. A peul desse ch'a esisto dij nùmer naturaj positiv n taj che $nx=0_A$. Ant ës cas-sì, ël pì cit ëd costi nùmer a l'é dit caraterìstica d'x. S'a-i é gnun nùmer parèj, as dis che x a l'ha caraterìstica zero (o infinìa).

La caraterìstica 'd n'anel A a l'é, s'a esist, ël pì cit nùmer natural positiv N tal che $Nx=0_A$ për tuti j'$x\in A$. S'un nùmer parèj a esist nen, antlora as dis che la caraterìstica d'A a l'é zero (o infinìa).

Propietà. An n'anel con unità, la caraterìstica dl'anel a l'é cola 'd soa unità.

Dimostrassion. Si la caraterìstica d'$1_A$ a l'é m>0, pijà un qualsëssìa $x\in A$ i l'oma

$mx=m(1_{A}x)=(m{1}_A)x=0_{A}x=0_A$.

Si nopà la caraterìstica d'$1_A$ a l'é zero, antlora cola d'A a peul nen esse positiva, e donca a l'é zero 'dcò chila.

Propietà. An n'anel, tuti j'element ch'a son nen divisor ëd zero a l'han la midema caraterìstica.

Dimostrassion. Consideroma d'element x e y ch'a sio nen divisor ëd zero e foma l'ipòtesi che la caraterìstica d'x a sia m>0.
Antlora: $0_A=0_{A}y=(mx)y=x(my)$. Dagià che x a l'é nen divisor ëd zero, a dev esse $my=0_A$; donca la caraterìstica d'y a l'é positiva e a l'é al màssim cola d'x. An baratand ël ròl d'x e y i otnoma che soe caraterìstiche a son j'istesse.

Esempi

• J'anej $\mathbb{Z}$ dj'antregh, $\mathbb{Q}$ dij rassionaj, $ℝ$ dij reaj a l'han caraterìstica 0, përchè costa a l'é la caraterìstica dl'1.
• J'anej $n\mathbb{Z}$ dij mùltipl antregh dël natural n>0 a l'han tuti caraterìstica 0.
• J'anej ${\mathbb{Z}}_n$ dle class ëd resta mòdol $n\ge 2$ a l'han caraterìstica n. Parèj, la caraterìstica ëd ${\mathbb{Z}}_6$ a l'é 6; sò sot-anel {0,2,4} a l'ha, nopà, caraterìstica 3. Noté però che la caraterìstica ëd n'element an n'anel o ant un sot-anel a resta la midema.

Ideaj

Un sot-anel I ëd n'anel A a l'é dit ideal ësnistr si $\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }a\in A,ax\in I$; a l'é dit ideal drit si $\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }a\in A,xa\in I$. N'ideal ch'a sia tant ësnistr che drit a l'é ciamà ideal bilateral, o bele mach ideal (ant j'anej comutativ, ideaj snistr, drit e bilateraj a son l'istess).
An minca anel, l'ideal nul $\{0_A\}$ e A midem a son d'ideaj bilateraj, dit ideaj banaj; j'àutri ideaj, s'a-i na son, a son dit pròpi.
N'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A a l'é ëdcò ideal (snistr, drit o bilateral) ëd minca sot-anel B d'A ch'a lo conten-a.
J'deaj bilateraj a l'han an teorìa dj'anej un ròl parèj ëd col dij sot-ëstrop normaj an teorìa djë strop.

Propietà. Si n'anel A a l'ha n'unità, costa a aparten a gnun ideal pròpi dl'anel.

Dimostrassion. Si l'unità a sta an n'ideal I, për minca $a\in A$ i l'oma $a=1_{A}a\in I$.

Esempi

• Fissà un nùmer antregh n, an qualsëssìa anel A l'ansem $\{na\mid a\in A\}$ a l'é n'ideal bilateral d'A.
• L'ansem dle matris reaj quadrà d'órdin 2 con seconda riga nula a l'é n'ideal drit, ma nen ësnistr, ant l'anel dle matris reaj quadrà d'órdin 2.
• Pijà 'n sot-ansem X ëd n'anel A, l' anulator ësnistr d'X a l'é l'ansem $\{a\in A\mid \mathrm{\forall }x\in X,ax=0_A\}$. As trata 'd n'ideal ësnistr d'A. An efet, $0_A$ a jë sta andrinta; pijà a,b an st'ansem e $x\in X$ i l'oma $(a-b)x=ax-bx=0_A$. Për finì, pijà a ant l'anulator ësnitr e $b\in A$ i l'oma che, për minca $x\in X$, $bax=0_A$. Ant l'istessa manera as definisso l'anulator drit e l'anulator d'X (ës darié a l'é l'ansem dj'$a\in A$ taj che $ax=xa=0_A$ për minca $x\in X$): ël prim a l'é n'ideal drit d'A, lë scond n'ideal bilateral.
• Considerà na famija nen veuida $ℱ$ d'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel, l'antërsession $\bigcap ℱ$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral). Donca, pijà un qualsëssìa sot-ansem S ëd n'anel, ël pì cit ideal (drit, snistr o bilateral) ch'a conten S a l'é l'antërsession ëd la famija ëd tuti j'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ch'a conten-o S. Cost-sì as dis ideal generà da S.
• Si I e J a son doi ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel A, l'ideal generà da $I\cup J$ a l'é l'ideal soma $I+J=\{i+j\mid i\in I,j\in J\}$. An efet, $0_A\in I+J$ e pijà $i,i^{\prime }\in I,j,j^{\prime }\in J$, i l'oma che $i+j-(i^{\prime }+j^{\prime })=i-i^{\prime }+j-j^{\prime }\in I+J$. Për finì, butoma che I e J a sio d'ideaj snistr (istess rasonament s'a son drit o bilateraj); pijà $i\in I,j\in J,a\in A$, i l'oma che $a(i+j)=ai+aj\in I+J$.
• Ant un prodot diret $\prod _{j\in J}{R}_j$ d'anej, si për minca fator $R_j$ i pijoma n'ideal (snistr, drit o bilateral) $B_j$, ël prodot $\prod _{j\in J}{B}_j$ a resta n'ideal (snistr, drit o bilateral).
• La soma direta dla famija nen veuida d'anej $\{R_h{\}}_{h\in J}$ a l'é ël sot-ansem dël prodot diret ëd coj element ch'a l'han tute le componente nule, gavà na quantità finìa. A l'é n'ideal bilateral, dagià che ël prodot ëd qualsëssìa cobia d'element dël prodot diret a l'ha componenta nula andoa che almanch un dij doi fator a l'ha componenta nula. Cand J a l'é n'ansem finì, la soma direta a coincid con ël prodot diret.

Ideaj massimaj

N'ideal M ëd n'anel A a l'é dit massimal si $M\ne A$ e a-i é gnun ideal U tal che $M\subset U\subset A$. Për esempi, j'ideaj massimaj ëd $\mathbb{Z}$ a son j'ansem dij mùltipl ëd chèich nùmer prim.

Ant l'anel $R=𝒞([0,1],ℝ)$ dle fonsion continue da l'antërval [0,1] ant ij reaj, l'ideal $M_{\gamma }=\{f\in R\mid f(\gamma )=0\}$, anté che $\gamma \in [0,1]$, a l'é massimal.
Pr'ës-ciaré sòn, pijoma n'ideal U ch'a conten-a ëd fasson pròpia M e na fonsion $g\in U-M$. Antlora, $g(\gamma )=\alpha \ne 0$. D'àutra part, $h(x)=g(x)-\alpha \in M\subseteq U$ e donca la fonsion costanta α, diferensa ëd g(x) e h(x), a l'é an U. A-i na ven che $1=\alpha {\alpha }^{-1}\in U$ e U=R.
As peul mostresse che tuti j'ideaj massimaj d'R a son ëd cost tipo.

Anel cossient

Pijà n'ideal I ëd n'anel A e n'element $a\in A$, dagià che (I,+) a l'é 'n sot-ëstrop d'(A,+) as peul consideresse ël cossient A/I. Ansima a cost cossient, ëdcò la multiplicassion as definiss ëd fasson natural an butand (a+I)(b+I)=ab+I e A/I a arzulta esse n'anel, dit anel cossient.
Armarché che sa definission ëd prodot a veul nen dì che l'ansem dij prodot $\{xy\mid x\in a+I,y\in b+I\}$ a sia l'ansem ab+I, dagià che an general a val mach l'anclusion

$\{xy\mid x\in a+I,y\in b+I\}\subseteq ab+I$.

Për dimostré costa relassion a basta noté che, pijà qualsëssìa $u,v\in I$ i l'oma

$(a+u)(b+v)=ab+av+ub+uv\in ab+I$.

Si A a l'é comutativ, ëdcò A/I a-l l'é.

Esempi

• Për minca nùmer natural $n\ge 1$, l'anel $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, cossient dj'antregh rëspet a l'ideal dij mùltipl d'n, a l'é l'anel dle class ëd resta mòdol n.
• Sa costrussion a peul generalisesse: pijà n'anel A e n'antregh n, l'anel A/nA as ciama l'anel ridot d'A mòdol n.

N'àutra costrussion dj'anej cossient

Ch'as consìdera na relassion d'equivalensa $\sigma$ ansima a n'anel A e foma l'ipòtesi che $\sigma$ a sia compatìbil rëspet a j'operassion, visadì:

$x\sigma x^{\prime }\wedge y\sigma y^{\prime }\Rightarrow x+y\sigma x^{\prime }+y^{\prime }\wedge xy\sigma x^{\prime }{y}^{\prime }$.

As peulo antlora definì d'operassion ëd soma e prodot ansima al cossient $A/\sigma$ përparèj:

$[x{]}_{\sigma }+[y{]}_{\sigma }=[x+y{]}_{\sigma }$,

$[x{]}_{\sigma }[y{]}_{\sigma }=[xy{]}_{\sigma }$.

Con coste operassion, $A/\sigma$ a ven a esse n'anel, ciamà anel cossient d'A rëspet a $\sigma$.
Si A a l'é comutativ, ëdcò $A/\sigma$ a-l l'é; si A a l'ha n'unità $1_A$, antlora ëdcò $A_{\sigma }$ a-l l'ha e costa-sì a l'é $[1_A{]}_{\sigma }$.

Le doe costrussion a arzulto esse equivalente. An efet, a val la propietà sì-dapress.

Propietà. Na relassion d'equivalensa σ a l'é compatìbil con j'operassion si e mach si la partission ch'a detèrmina a l'é cola dij lateraj ëd n'ideal bilateral.

Dimostrassion. Dàita σ compatìbil, i l'oma che

$a\sigma b\iff a-b\in [0_A{]}_{\sigma }$

e $[0_A{]}_{\sigma }$ a l'é n'ideal bilateral dont le class ëd σ a son ij lateraj. Viceversa, dàit n'ideal bilateral I, la relassion

$a{\sigma }_{I}b\iff a-b\in I$

a l'é na relassion d'equivalensa compatìbil con j'operassion.
Le fonsion $\sigma \mapsto [0_A{]}_{\sigma },I\mapsto {\sigma }_I$ a son anverse un-a dl'àutra.

Morfism

Considerà j'anej A e A', un morfism (o omomorfism) d'anej antra A e A' a l'é na fonsion $f:A\to A^{\prime }$ ch'a conserva j'operassion, visadì

f(x+y)=f(x)+f(y),

f(xy)=f(x)f(y),

për minca $x,y\in A$.
Un morfism surietiv as dis ëdcò epimorfism e un morfism inietiv monomorfism.

Si A,B,C a son d'anej e $f:A\to B,g:B\to C$ a son ëd morfism, antlora soa composission $gf:A\to C$ a l'é 'n morfism.

Nos d'un morfism

La nos d'f a l'é $kerf=\{a\in A\mid f(a)=0_{A^{\prime }}\}$. As trata 'd n'ideal. An efet, a l'é la nos d'un morfism dë strop, donca a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, për tuti j'$a\in kerf$ e tuti ij $b\in A$,

$f(ab)=f(a)f(b)=0_{A^{\prime }}f(b)=0_{A^{\prime }}$ e $f(ba)=f(b)f(a)=f(b)0_{A^{\prime }}=0_{A^{\prime }}$,

donca sia ab che ba a stan an kerf.

Esempi

• Pijà n'anel A e un sò ideal I, la projession $A\to A/I$ ch'a manda minca $a\in A$ an $a+I\in A/I$ a l'é 'n morfism.
• Ch'as consìdera la fonsion $\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_6$ ch'a manda mìnca nùmer antregh an soa class ëd resta. As trata 'd n'epimorfism. Noté che antant che an $\mathbb{Z}$ minca nùmer diferent da 0 a l'ha caraterìstica zero e $\mathbb{Z}$ a l'ha pa 'd divisor ëd zero, minca element ëd ${\mathbb{Z}}_6$ diferent da zero a l'ha caraterìstica finìa e ${\mathbb{Z}}_6$ a l'ha 'd divisor ëd zero.
• A-i é mach n'epimorfism ${\mathbb{Z}}_6\to {\mathbb{Z}}_2$. Noté che antant che 3 a l'é 'n divisor ëd zero an ${\mathbb{Z}}_6$, soa plancia 1 a-l l'é nen an ${\mathbb{Z}}_2$.
• Le projession canòniche ${\pi }_h:\prod _{m\in J}{R}_m\to R_h$ d'un prodot diret ansima ai sò fator a son d'epimorfism. J'iniession canòniche $j_h:R_h\to \prod _{m\in J}{R}_m$ definìe an manera che $j_h(a)$ a l'ha a tanme componenta d'ìndes h e tute j'àutre componente nule, a son ëd monomorfism. Pijà $h,k\in J$, la composission ${\pi }_h{j}_k:R_k\to R_h$ a l'é l'identità cand h=k e ël morfism ch'a manda tut an $0_{R_h}$ dësnò. Le projession canòniche rëstrenzùe a la soma direta a son ancor dj'epimorfism e la plancia ëd minca iniession canònica a l'é un sot-ansem dla soma direta.

Chèiche propietà sempie

• Dàit un morfism d'anej $f:A\to A^{\prime }$ e un sot-anel B d'A, f(B) a l'é sot-anel d'A'. An particolar, la plancia d'f a l'é 'n sot-anel d'A'.

Dimostrassion. Ël sot-ansem f(B) a l'é 'n sot-ëstrop d'A', dagià che f a l'é ëdco 'n morfism dë strop. Pijà peui $x,y\in A$, i l'oma che $f(x)f(y)=f(xy)\in f(B)$.

• Dàit un morfism antra anej $f:A\to A^{\prime }$ e un sot-anel B' d'A', $f^{-1}(B^{\prime })$ a l'é 'n sot-anel d'A.

Dimostrassion. I l'oma che $f^{-1}(B^{\prime })$ a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, pijà $x,y\in f^{-1}(B^{\prime })$, i l'oma $f(xy)=f(x)f(y)\in B^{\prime }$ e donca $xy\in f^{-1}(B)$.

• La plancia omomorfa ëd n'anel comutativ a l'é comutativa.

Dimostrassion. A basta armarché che ant ës cas-sì f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x).

• Si A a l'é n'anel con unità e $f:A\to A^{\prime }$ a l'é n'epimorfism antra anej, con $f(1_A)=0_{A^{\prime }}$, antlora $A^{\prime }=\{0_{A^{\prime }}\}$.

Dimostrassion. S'i pijoma qualsëssìa $a^{\prime }\in A^{\prime }$ e $a\in A$ con f(a)=a', i l'oma che $a^{\prime }=f(a)=f(1_{A}a)=f(1_A)f(a)=0_{A^{\prime }}{a}^{\prime }=0_{A^{\prime }}$.

• Si $f:A\to A^{\prime }$ a l'é n'epimorfism antra anej e A a l'ha n'unità $1_A$, antlora $f(1_A)$ e l'é l'unità d'A'; an dzorpì, si $a\in A$ a l'é anvertìbil, ëdcò f(a) a-l l'é e $[f(a){]}^{-1}=f(a^{-1})$.

Dimostrassion. Pijà $a^{\prime }\in A^{\prime }$ e $a\in A$ con f(a)=a', i l'oma $f(1_A)a^{\prime }=f(1_A)f(a)=f(1_{A}a)=f(a)=a^{\prime }$ e donca $f(1_A)$ a l'é unità an A'. Si $a\in A$ a l'é anvertìbil, con anvers $a^{-1}$, a-i ven che $f(a)f(a^{-1})=f(a{a}^{-1})=f(1_A)=1_{A^{\prime }}$ e donca $f(a^{-1})$ a l'é l'anvers d'f(a).

• La plancia ëd n'ideal I (snistr, drit o bilateral) a travers n'epimorfism $f:A\to A^{\prime }$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral, a sconda dij cas).

Dimostrassion. Butoma che I a sia n'ideal ësnistr d'A (istess rasonament s'as trata ëd n'ideal drit o bilateral). Pijoma $x\in A^{\prime },a\in I$ për fé vëdde che $xf(a)\in f(I)$. Antlora a-i é $y\in A$ con f(y)=x. Parèj, $xf(a)=f(y)f(a)=f(ya)\in f(I)$.

• La contra-plancia 'd n'ideal J (snistr, drit o bilateral) a travers un morfism d'anej $f:A\to A^{\prime }$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A.

Dimostrassion. Për ël cas ëd n'ideal ësnistr (l'istess a val për n'ideal drit o bilateral), pijoma $x\in A,a\in f^{-1}(J)$. Antlora $f(xa)=f(x)f(a)\in J$ e donca $xa\in f^{-1}(J)$.

Isomorfism

Un morfism d'anej ch'a l'é na bijession a l'é dit isomorfism e ij doi anej isomorf. A-i na ven che n'isomorfism a conserva ëdcò (cand ch'a-i son) l'unità e j'anvers, visadì

$f(1_A)=1_{A^{\prime }}$,

$f(x^{-1})=[f(x){]}^{-1}$ për minca $x\in A$.

La relassion d'isomorfism $\simeq$ antra anej a l'é na relassion d'equivalensa.

Fatorisassion dij morfism

Ch'as pija un morfism antra anej $f:A\to B$ e n'ideal I d'A. Butoma che $I\subseteq kerf$. Antlora a-i é 'n morfism d'anej $g:A/I\to B$ tal che g(a+I)=f(a) për tuti j'$a\in A$.

An efet, g a l'é bin definì e a l'é un morfism dë strop, dagià che f a-l l'é. Për la multiplicassion, i l'oma

g((a+I)(b+I))=g(ab+I)=f(ab)=f(a)f(b)=g(a+I)g(b+I).

A-i na ven che minca omomorfism antra anej $f:A\to A^{\prime }$ a peul decomponse tanme $f=j\phi \pi$ anté che:

• $\pi :A\to A/kerf$ a l'é la projession canònica, ch'a l'é n'epimorfism;
• $\phi (x+kerf)=f(x)$ a l'é n'isomorfism;
• j a l'é ël fongament d'f(A) andrinta a A', ch'a l'é un monomorfism.

An particolar, armarcoma che:

• minca ideal bilateral a l'é la nos ëd n'omomorfism d'anej;
• A/kerf a l'é isomorf a f(A);
• për $I=\{0_A\}$, A/I a l'é isomorf a A;
• për I=A i l'oma che A/I a l'é isomorf a $\{0_A\}$;
• si I a l'é n'ideal bilateral d'A, la projession canònica $\pi :A\to A/I$ a génera na bijession antra la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A ch'a conten-o I e la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A/I.
• dàit un morfism d'anej $f:A\to A^{\prime }$, n'ideal bilateral $I\subseteq A$ e n'ideal bilateral $I^{\prime }\subseteq A^{\prime }$, si $f(I)\subseteq I^{\prime }$ antlora f a passa al cossient e a génera un morfism $\overline{f}:A/I\to A^{\prime }/I^{\prime }$ definì da $\overline{f}(a+I)=f(a)+I^{\prime }$.

Esempi

• Ch'as consìdera la fonsion $f:\mathbb{Z}[X]\to \mathbb{Z}$ cha assòssia a minca polinòmi a coeffisient antregh sò tèrmin costant. As trata d'un morfism, dont la nos a l'é l'ansem dij polinòmi ëd tèrmin costant nul e $f/kerf\simeq \mathbb{Z}$. Minca lateral ëd kerf a l'é formà dai poliòmi ch'a partagio ël midem tèrmin costant.
• N'esempi ch'a jë smija a l'é ël morfism $f:{ℝ}^{ℝ}\to ℝ$ ch'a assòssia a minca $f\in {ℝ}^{ℝ}$ ël valor f(0). L'ideal I dle fonsion ch'a valo 0 ant l'orìgin a l'é la nos d'ës morfism; dagià che la plancia a l'é $ℝ$ (a basta mach consideré le fonsion costante) i otnoma che $({ℝ}^{ℝ})/I\simeq ℝ$.

Arpresentassion ëd n'anel an n'anel d'endomorfism

Cosideroma n'anel A. Për minca $a\in A$ ch'as consìdera la fonsion $f_a:A\to A$ definìa an butand $\mathrm{\forall }x\in A,f_a(x)=ax$, ciamà multiplicassion a snistra për a. As agiss d'un morfism dlë strop abelian (A,+):

$f_a(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f_a(x)+f_a(y)$.

An sa manera i l'oma definì na fonsion f da a l'anel dj'endomorfism ëd lë strop abelian (A,+). Costa-sì a l'é 'n morfism d'anej:

$f(a+b)(x)=(a+b)x=ax+bx=f(a)(x)+f(b)(x)=[f(a)+f(b)](x)$;

$f(ab)(x)=abx=f(a)f(b)x$.

La nos d'ës morfism a l'é $\{a\in A\mid \mathrm{\forall }x\in A,ax=0_A\}$, visadì l'anulator snistr d'A.

Ant ël cas A a l'abia n'unità $1_A$, dagià che $a{1}_A=0_A\iff a=0_A$, cost morfism a l'é 'n monomorifsm. Donca A a resta isomorf a l'anel dle multiplicassion a snistra. Parèj i l'oma otnù che minca anel con unità a l'é isomorf a n'anel d'endomorfism ëd sò strop abelian aditiv. Stamp:Fin