Relassion d'órdin

Stamp:Prinsipi Na relassion binaria $\le$ ansima a n'ansem A a l'é dita relassion d'órdin (parsial) s'a l'é riflessiva, transitiva e anti-simétrica.
La relassion d'órdin $\le$ ansima a A a l'é ciamà n'órdin total si, an dzorpì, a val la propietà che për minca $x,y\in A$, almanch un-a dle relassion $x\le y$ o $y\le x$ a val. Ant ës cas-si, as dis che l'ansem A a l'é ordinà an manera total, o na caden-a.

Un sot-ansem P ëd n'ansem ordinà (an manera parsial) $(A,\le )$ a l'é dit n'anti-caden-a si për minca $x,y\in P$, si $x\le y$ antlora x=y.

Si da na relassion d'órdin as gava la diagonal, visadì as definiss $x<y\iff x\le y\wedge x\ne y$, as oten na relassion < d'órdin s-ciass.

Element ëspeciaj ëd n'órdin

Ch'as consìdera un sot-ansem X ëd n'órdin parsial $(A,\le )$ e n'element $p\in A$. L'element p a l'é:

• un minorant d'X si $p\le x$ për minca $x\in X$;
• estrem anferior d'X s'a l'é ël pì gròss dij minorant, visadì s'a l'é un minorant e, an dzorpì, për minca minorant y d'X a val $y\le x$;
• mìnim d'X s'a l'é n'estrem anferior d'X ch'a aparten a X;
• un magiorant d'X si $x\le p$ për minca $x\in X$;
• estrem superior d'X s'a l'é 'l pì cit dij magiorant, visadì s'a l'é un magiorant e, an dzorpì, për minca magiorant y d'X a val $x\le y$;
• màssim d'X s'a l'é n'estrem superior d'X ch'a aparten a X.

Pijà n'element $a\in X$ i disoma che a a l'é:

• minimal an X si për tut element $x\in X$ tal che $x\le a$, i l'oma a=x;
• massimal an X si për tut element $x\in X$ tal che $a\le x$, i l'oma a=x.

L'estrem anferior d'un sot-ansem X as denòta infX; l'estrem superior as denòta supX.
N'órdin parsial anté che për minca $a,b$ a-i son sia inf{a,b} che sup{a,b} a l'é un retìcol. N'órdin parsial andoa minca caden-a (comprèisa cola veuida) a l'ha n'estrem superior as dis andutiv.

Esempi

• Për minca ansem A, l'ansem potensa $𝒫(A)$ sota la relassion d'anclusion a l'é andutiv.
• Dàit doi ansem A e B, l'ansem dle fonsion parsiaj, definìe ansima a 'n sot-ansem d'A a valor an B, sota la relassion d'anclusion, a l'é andutiv.

Isomorfism

Ch'as consìdero j'órdin $(P,{\le }_P)$ e $(Q,{\le }_Q)$. N'isomorfism antra ij doi órdin a l'é qualsëssìa bijession $f:P\to Q$ tal che, për minca $x,y\in P$,

$x{\le }_{P}y\iff f(x){\le }_{Q}f(y)$.

S'a-i é n'isomorfism antra P e Q, ij doi órdin as diso isomorf.

Operassion an sj'órdin

A-i son vàire manere për fabriché n'órdin neuv an partend da órdin dàit.

L'union disgionzùa o soma orisontal ëd doi órdin disgionzù $(A,{\le }_A),(B,\le B)$ a l'é l'órdin $\le$ definì ansima $A\cup B$ an butand $x\le y$ si e mach si:

• $x,y\in A$ e $x{\le }_{A}y$,
• opura $x,y\in B$ e $x{\le }_{B}y$.

La soma linear o soma vertical ëd doi órdin disgionzù $(A,{\le }_A)$ e $(B,{\le }_B)$ a l'é l'órdin $\le$ ansima a $A\cup B$ definì an butand $x\le y$ si e mach si:

• $x,y\in A$ e $x{\le }_{A}y$,
• opura $x,y\in B$ e $x{\le }_{B}y$,
• opura $x\in A,y\in B$.

Órdin totaj

Ansem satì

Un sot-ansem B ëd n'órdin total A a l'é dit satì an A si

$\mathrm{\forall }x,y\in A,x<y\Rightarrow \mathrm{\exists }b\in B,x<b<y$.

Órdin complet

N'órdin total a l'é complet si minca sot-ansem nen veuid ch'a l'ha un magiorant a l'ha n'estrem superior.

Esempi

L'órdin dij rassionaj a l'é nen complet, përchè l'ansem $\{r\in \mathbb{Q}\mid r^2<2\}$ a l'é limità da dzora ma a l'ha gnun estrem superior.

Bon órdin

Un bon órdin a l'é n'órdin total anté che tut sot-ansem nen veuid a l'ha un mìnim. Stamp:Fin