Teorema dla fonsion duverta

Stamp:Prinsipi Ël teorema dla fonsion duverta a l'é dovù a Banach. A fortiss che si E e F a son dë spassi ëd Banach e T a l'é n'operador linear continuo e surietiv da E a F, antlora a-i é na costanta c>0 tal che la sfera ëd sènter 0 e raj c an F a l'é contnùa ant la plancia scond T dla sfera ëd sènter 0 e raj 1 d'E.

Ës teorema a ìmplica che T a manda ansem duvert d' E an ansem duvert d'F, dont sò nòm. An efet, ch'as consìdera un sot-ansem duvert U d'E nen veuid e ch'as pija un pont $y_0\in T(U)$. Donca $y_0=T(x_0)$ për chèich $x_0\in U$. Antlora a esist r>0 tal che, denotà ${ℬ}_r(x_0)$ la sfera ëd sènter $x_0$ e raj r, un a l'ha ${ℬ}_r(x_0)\subseteq U$, visadì $x_0+{ℬ}_r(0)\subseteq U$. Antlora $y_0+T({ℬ}_r(0))\subseteq T(U)$. Për l'ipòtesi, ${ℬ}_{rc}(0)\subseteq T({ℬ}_r(0))$, dont ${ℬ}_{rc}(y_0)\subseteq T(U)$ e T(U) a arzulta esse duvert.

Un corolari

Ch'as consìdero jë spassi ëd Banach E e F e n'operador linear continuo e bijetiv $T:E\to F$. Antlora $T^{-1}:F\to E$ a l'é continuo.

Dimostrassion. Dal teorema, un a sa che për tuti j'$x\in E$ taj che $||T(x)||<c$ un a l'ha $||x||<1$. Për omogenità,

$\mathrm{\forall }x\in E,||x||\le \frac{1}{c}||T(x)||$,

donca $T^{-1}$ a l'é continuo.

N'aplicassion

Ch'as consìdera në spassi vetorial E dotà 'd norme $||x|{|}_1$ e $||x|{|}_2$ taj che E a sia në spassi ëd Banach rëspet a tute doe se norme. Butoma, an dzorpì, che

$\mathrm{\exists }C\ge 0,\mathrm{\forall }x\in E,||x|{|}_2\le C||x|{|}_1$.

Antlora

$\mathrm{\exists }c>0,\mathrm{\forall }x\in E,||x|{|}_1\le c||x|{|}_2$,

visadì le doe norme a son equivalente.

A basta an efet apliché ël corolari a jë spassi ëd Banach $(E,|||{|}_1),(E,|||{|}_2)$ e a la fonsion identità.

La dimostrassion dël teorema

A conven fé la dimostrassion an toi tòch:

1. Si $T:E\to F$ a l'é n'operador linear e surietiv, antlora

$\mathrm{\exists }c>0,{ℬ}_{2c}(0)\subseteq \overline{T({ℬ}_1(0))}$

2. Si $T:E\to F$ a l'é n'operador linear continuo ch'a sodisfa sa dariera relassion, antlora

${ℬ}_c(0)\subseteq T({ℬ}_1(0))$.

Dimostrassion dla prima part

Për tut n natural positiv, ch'as buta

X_n=n \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>.

Dagià che T a l'é surietiv, a-i na ven che

$F=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n$

e dal teorema ëd categorìa ëd Baire as treuva $n_0$ tal che

$Int(\overline{T({ℬ}_1(0))})\ne \mathrm{\varnothing }$.

Ch'as pijo antlora $c>0,y_0\in F$ taj che

${ℬ}_{4c}(y_0)\subseteq \overline{T({ℬ}_1(0))}$.

An particolar, $y_0\in \overline{T({ℬ}_1(0))}$ e, për simetrìa, ëdcò $-y_0\in \overline{T({ℬ}_1(0))}$. An somand e tnisend da ment che $\overline{T({ℬ}_1(0))}$ a l'é bombà, un a oten

${ℬ}_{4c}(0)\subseteq \overline{T({ℬ}_1(0))}+\overline{T({ℬ}_1(0))}=2\overline{T({ℬ}_1(0))}$,

dont la tesi.

Dimostrassion dla sconda part

Ch'as fissa $y\in F$ con $||y||<c$, con ël but ëd trové $x\in E$ tal che $||x||<1$ e T(x)=y.
Da la condission admetùa, un a l'ha che

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }z\in E,||z||<\frac{1}{2}\wedge ||y-T(z)||<\epsilon$.

An sernend $\epsilon =\frac{c}{2}$ un a treuva $z_0\in E$ tal che

$||z_0||<\frac{1}{2}$ e $||y-T(z_0)||<\frac{c}{2}$.

An aplicand l'istess rasonament con $y-T(z_0)$ al pòst d'y e con $\epsilon =\frac{c}{4}$, as treuva $z_1\in E$ tal che

$||z_1||<\frac{1}{4}$ e $||y-T(z_0)-T(z_1)||<\frac{c}{4}$.

An seghitand përparèj, un a fàbrica na sequensa $z_n$ tal che

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},||z_n||<\frac{1}{2^{n+1}}$ e $||y-T(\sum _{i=0}^n{z}_i)||<\frac{c}{2^{n+1}}$.

Donca la sequensa $x_n=\sum _{i=0}^n{z}_i$ a l'é ëd Cauchy. Ch'as denòta con x sò lìmit. Antlora $||x||<1$ e y=T(x) përchè T a l'é continuo. Stamp:Fin