Criteri ëd d'Alembert

Stamp:Prinsipi Ch'as consìdera na sequensa $(u_n)$ ëd nùmer reaj positiv.
Ël criteri ëd d'Alembert (o criteri dël rapòrt) a fortiss che s'a esist un nùmer λ<1 tal che a parte d'un chèich ìndes a val la relassion $\frac{u_{n+1}}{u_n}<\lambda$, la serie $\sum u_n$ a convergg; si, a ancaminé da 'n chèich ìndes, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$, antlora la serie a divergg.
An particolar, si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$, antlora i l'oma convergensa; si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ i l'oma divergensa.

La dimostrassion

Butoma che $\mathrm{\forall }n\ge m,\frac{u_{n+1}}{u_n}<\lambda <1$; sòn a veul dì che $u_{n+1}<\lambda u_n$ e donca che $\mathrm{\forall }h,u_{m+h}<{\lambda }^h{u}_m$. Dagià che la serie geométrica ëd rason λ<1 a convergg, për ël criteri dël confront ëdcò la serie $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ a convergg.
Noté che ant ës cas-sì la soma dla serie a l'é limità da 'dzora da $\sum _{n=0}^{m-1}{u}_n+\frac{u_m}{1-\lambda }$.

D'àutra part, si $\mathrm{\forall }n\ge m,\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$, antlora a ancaminé da l'ìndes m la sequensa $u_n$ a l'é nen dechërsenta e donca nen infinitésima. Parèj, la serie a divergg. Stamp:Fin