Determinatëssa

Stamp:Prinsipi La determinatëssa a l'é un soget dë studi ant la teorìa descritiva dj'ansem.

Për minca sot-ansem A d'${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ as costruiss un gieugh $G_A$ giugà da doi giugador I e II parèj: a l'ancamin I a gieuga un nùmer natural $a_0$; apress II a rëspond an giugand un nùmer natural $b_0$; peui I a sern un nùmer natural $a_1$; ël giugador II a sern $b_1$ e via fòrt. Ël gieugh a chita apress ω mòsse. Si la sequensa $(a_0,b_0,a_1,b_1,\dots )$ a l'é an A, antlora I a vagna; dësnò a l'é II a vagné.

Le definission

Pijà $A\subseteq {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$, ch'as consìdera ël gieugh corëspondent $G_A$.

Na partìa a l'é qualsëssìa sequensa $(a_0,b_0,a_1,b_1,\dots )\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$. Për minca $n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$, $a_n$ a l'é la mòssa nùmer n dël giugador I e $b_n$ a l'é la mòssa nùmer n dël giugador II.

Stategìe e strategìe ch'a vagno

Na strategìa (për I o për II) a l'é na régola ch'a dis al giugador che mòssa fé, an dipendensa dle mòsse già giugà da tuti doi. Na strategìa a l'é na strategia ch'a vagna s'ël giugador corëspondent, an andasendje dapress, a vagna sempe.

Donca, na strategìa për I a l'é na fonsion σ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd nùmer naturaj ëd longheur cobia e ij valor a son dij nùmer naturaj. Ël giugador I a gieuga $(a_0,b_0,a_1,b_1,\dots )$ conforma a la strategìa σ si $a_0=\sigma (\mathrm{\varnothing }),a_1=\sigma (a_0,b_0),a_2=\sigma (a_0,b_0,a_1,b_1)$ e via fòrt. Parèj, si I a gieuga conforma a σ, antlora la partìa a l'é determinà da σ e da la sequensa $b=(b_0,b_1,\dots )$ dle mòsse ëd l'àutr. Sa partìa as denòta $\sigma *b$.
Na strategìa σ për ël giugador I a l'é na strategìa ch'a vagna si $\{\sigma *b\mid b\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\}\subseteq A$, visadì cand tute le partìe che I a gieuga conforma a σ a son an A.

Ant l'istessa manera, na strategìa për II a l'é na fonsion τ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd naturaj ëd longheur dëscobia e ij valor a son ëd nùmer naturaj.
Assignà $a\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ e na strategìa τ për II, con $a*\tau$ as denòta la partìa anté che I a gieuga a e II a rëspond conforma a τ. Na strategìa τ për II a l'é na strategìa ch'a vagna si $\{a*\tau \mid a\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\}\subseteq {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\setminus A$.

Ëd tansantan as consìdero ëdcò dij gieugh $G_A$ anté che le mòsse a son nen ëd nùmer naturaj ma element ëd chèich ansem S. Na partìa a l'é antlora na sequensa $p\in S^{\mathbb{N}}$ e l'arzultà dla partìa a dipend se $p\in A$ o $p\notin A$ (ambelessì A l'é un sot-ansem d'$S^{\mathbb{N}}$).

L'assiòma ëd determinatëssa

Ël gieugh $G_A$ as dis determinà si un dij doi giugador a l'ha na strategìa ch'a vagna.
Un dj'arzultà pi amportant ant la teorìa descritiva dj'ansem a l'é la dimostrassion ëd Martin che $G_A$ a l'é determinà për minca sot-ansem borelian d'${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$. Ës teorema a l'é dël 1975; dël 1985, Martin a l'ha publicà na dimostrassion simplificà.

L'assiòma ëd determinatëssa (AD, proponù da Mycielski e Steinhaus dël 1962) a fortiss che për qualsëssìa $A\subseteq {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ ël gieugh $G_A$ a l'é determinà. Cost assiòma as peul limitesse a dle famije particolar d'ansem. Për esempi, l'assiòma ëd determinatëssa projetiva (PD, projective determinacy) a l'é l'assiòma ch'a fortiss che $G_A$ a l'é determinà për minca ansem projetiv.

An dij travaj dal 1963 al 1966, Mycielski a l'ha smonù na tratassion aprofondìa dle conseguense dl'assiòma ëd determinatëssa e ëd problema duvert lià.

Dagià che la quantità dë strategìe a l'é $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$, un rasonament diagonal a fa vëdde che l'assiòma ëd determinatëssa a l'é incompatìbil con l'assiòma ëd selession:

Teorema. Sota l'assiòma ëd selession, a-i é $X\subseteq {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$, tal che ël gieugh $G_X$ a l'é nen determinà.
Cost teorema a l'é stàit dimostrà da Gale e Stewart dël 1953.

Dimostrassion. Pijoma d'enumerassion $\{{\sigma }_{\alpha }\mid \alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\},\{{\tau }_{\alpha }\mid \alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}$ ëd tute le strategìe për I e për II. Për andussion, as costruisso doi ansem $X=\{x_{\alpha }\mid \alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\},Y=\{y_{\alpha }\mid \alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}$: dàit $x_{\xi },y_{\xi }$ për minca $\xi <\alpha$, pijé $y_{\alpha }$ ëd fasson che $y_{\alpha }={\sigma }_{\alpha }*b$ për chèich b e $y_{\alpha }\notin \{x_{\xi }\mid \xi <\alpha \}$; ant l'istessa manera, serne $x_{\alpha }$ con $x_{\alpha }=a*{\tau }_{\alpha }$ për chèich a e $x_{\alpha }\notin \{y_{\xi }\mid \xi \le \alpha \}$.
J'ansem X e Y a son disgionzù, për minca α a-i é b tal che ${\sigma }_{\alpha }*b\notin X$ e a-i é a tal che $a*{\tau }_{\alpha }\in X$. Donca nì I nì II a l'han na strategìa ch'a vagna ant ël gieugh $G_X$ e parèj $G_X$ a l'é nen determinà.

D'àutra part, l'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica na forma débola dl'assiòma ëd selession:

Teorema. L'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica che minca famija numeràbil d'ansem nen veuid ëd nùmer reaj a l'ha na fonsion ëd selession.

Dimostrassion. Pijoma na famija $\{X_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ ëd sot-ansem nen veuid d'${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ për trovene na fonsion f ëd selession. Consideroma ël gieugh sì-dapress: si I a gieuga $(a_0,a_1,a_2,\dots )$ e II a gieuga $b=(b_0,b_1,b_2,\dots )$, II a vagna si e mach si $b\in X_{a_0}$. Ël giugador I a peul nen avèj na strategìa ch'a vagna, dagià che si chiel-sì a ancamin-a an giugand $a_0$, II a peul vagné an pijand qualsëssìa $b=(b_0,b_1,b_2,\dots )\in X_{a_0}$ e an giugand ij sò element un a la vira. Donca, për l'ipòtesi ëd determinatëssa, a l'é II ch'a l'ha na strategìa ch'a vagna τ e as peul definì la fonsion ëd selession f parèj: $f(X_n)=\tau *(n,0,0,0,\dots )$. Stamp:Fin