Equassion dël calor

Stamp:Prinsipi Ch'as consìdera n'ansem duvert $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^N$, ëd frontera Γ. Ch'as buta

$Q=\mathrm{\Omega }\times {ℝ}^{+},\mathrm{\Sigma }=\mathrm{\Gamma }\times {ℝ}^{+}$;

donca Σ a l'é la frontera lateral dël cilìnder Q.
Ch'as consìdera ël problema ëd determiné na fonsion $u:\overline{\mathrm{\Omega }}\times {ℝ}_0^{+}\to ℝ$ tal che:

1. $\frac{\partial u}{\partial t}-\mathrm{\Delta }u=0$ su Q (equassion dël calor)
2. u=0 su Σ (condission ai lìmit ëd Dirichlet)
3. $u(x,0)=u_0(x)$ su Ω (condission inissial)

anté che $\mathrm{\Delta }=\sum _{i=1}^N\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}$ a l'é ël laplacian rëspet a le variàbij spassiaj, t a l'é la variàbil temporal e $u_0$ a l'é na fonsion assignà.

L'equassion a l'é dita equassion dël calor, dagià ch'a modela la distribussion ëd la temperadura u ant ël domini Ω al moment t. L'equassion dël calor e soe variante a antërven-o an vàire fenòmeno ëd difusion. A l'é n'esempi sempi d'equassion parabòlica.

La condission ai lìmit a peul esse rampiassà da la condission ëd Neumann

2'. $\frac{\partial u}{\partial n}=0$ su Σ,

anté che n a l'é ël versor unitari dla normal esterior a Γ. Antant che la condission 2 a esprim ël fàit ch'as goerna ël bòrd Γ d'Ω a temperadura nula, la condission 2' a smon che ël fluss ëd calor a travers Γ a l'é nul. Stamp:Fin