Ipérbol

Cònica: sercc, eliss, paràbola e ipérbol

L'ipérbol a l'é ël leu dij pont ant un pian pr'ij quaj a resta costanta la diferensa antra le distanse da doi pont fissà, ciamà ij feu.

L'equassion cartesian-a

Fissoma un sistema ëd coordinà cartesian-e con l'ass dj'assisse an sla reta pr'ij feu e orìgin pont mesan antra ij doi feu. Donca ij feu a resto dij pont ëd coordinà F(c,0),F'(-c,0). As sërca ël leu dij pont P pr'ij quaj

d(P,F)-d(P,F')=2a,

visadì

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a$.

An isoland un radical,

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$.

Alvand al quadrà i otnoma

$x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2+4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$.

An semplificand e an isoland ël radical restaje,

$-cx-a^2=a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$.

As peul torna alvesse al quadrà e semplifiché. A resta

$(c^2-a^2)x^2-a^2{y}^2=a^2(c^2-a^2)$.

Dagià che d(F,F')>d(P,F)-d(P,F'), visadì c>a, i podoma scrive $b^2=c^2-a^2$. L'equassion a dventa antlora

$b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2$.

An dividend për $a^2{b}^2$ i otnoma la forma normal ëd l'ipérbol

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

L'ipérbol a toca nen l'ass dj'ordinà e a ancreusia col dj'assisse ant ij pont ëd coordinà $(0,\pm a)$. Stamp:Fin