Lema ëd Riesz

Stamp:Prinsipi Ël lema ëd Riesz a fortiss che si E a l'é në spassi vetorial normà e M a l'é 'n sot-ëspassi sarà d'E, con $M\ne E$, antlora

$\mathrm{\forall }\epsilon \in {ℝ}^{+},\mathrm{\exists }\overrightarrow{u}\in E\mid ||\overrightarrow{u}||=1\wedge d(\overrightarrow{u},M)\ge 1-\epsilon$.

La dimostrassion

Ch'as consìdera n'element $\overrightarrow{v}\in E-M$. Dagià che M a l'é sarà, la distansa $d=d(\overrightarrow{v},M)$ a l'é positiva. Ch'as serna $\overrightarrow{m_0}\in M$ tal che

$d\le ||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{m_0}||\le \frac{d}{1-\epsilon }$.

Antlora

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{m_0}||}(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{m_0})$

a sodisfa la condission. An efet, pijà $\overrightarrow{m}\in M$, a val

$||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{m}||=||\frac{1}{||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{m_0}||}(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{m_0})-\overrightarrow{m}||\ge 1-\epsilon$,

dagià che

$\overrightarrow{m_0}+||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{m_0}||\overrightarrow{m}\in M$.

Osservassion

Si M a l'é arflessiv, la conclusion dël lema a val ëdcò con $\epsilon >0$. Sòn a l'é nen vera ant ël cas general. Stamp:Fin