Prinsipi dij tiroj ëd Dirichlet

Stamp:Prinsipi Ël prinsipi dij tiroj ëd Dirichlet, o prinsipi dla colombera, a fortiss che si n oget a son piassà an k scàtole, andoa n e k a son d'antregh positiv e n>k, antlora almanch na scàtola a conten pì che n'oget.

Cost prinsipi a peul esse formolà an fortend che minca iniession $f:A\to A$ ëd n'ansem finì andrinta a chiel-midem a l'é ëdcò na suriession.

La dimostrassion

A basta prové che, për tuti ij nùmer naturaj m , minca iniession $g:\{0,\dots ,m-1\}\to \{0,\dots ,m-1\}$ a l'é na suriession. La dimostrassion as fa për andussion ansima a m.

Base

La base dl'andussion a ven dlongh: si m=0 o m=1 a-i é mach na fonsion g possìbil, e a l'é na bijession.

Pass d'andussion

Admetoma l'arzultà për chèich m>0 e dimostroma che minca iniession $g:\{0,\dots ,m\}\to \{0,\dots ,m\}$ a l'é n'iniession. A-i son tre cas da consideré.

Prim cas

Ël nùmer m a l'é nen ant la plancia ëd g.
Ch'as consìdera la restrission h ëd g a {0,...,m-1}. Costa a l'é n'iniession e soa plancia a l'é contnùa an {0,...,m-1}. Për l'ipòtesi d'andussion, as oten che la plancia d'h a l'é {0,...,m-1}. Ma sòn a l'é impossìbil, dagià che ëdcò g(m)<m e g a l'é n'iniession.

Scond cas

g(m)=m.

Antlora la restrission h ëd g a {0,...,m-1} a l'é torna n'iniession e donca na bijession. Donca ëdcò g a l'é na bijession.

Ters cas

Ël ters cas, ël pì anteressant, a l'é cand a esisto dij nùmer u,v<m taj che

g(u)=m, g(m)=v.

Antlora, ch'as definissa la fonsion $h:\{0,\dots ,m\}\to \{0,\dots ,m\}$ për mojen dj'equassion

$\begin{array}{ccc}h(i)=g(i)& \text{si}& u\ne i<m,\\ h(u)=v.& & \end{array}$

Antlora h a l'é n'iniession, përchè a va d'acòrd con g ansima a tuti j'argoment gavà u, anté ch'a pija ël valor v; d'àutra part $g(j)\ne v$ për tut j<m.
L'ipòtesi d'andussion a spòrz antlora che la plancia d'h a l'é tut {0,...,m} e da sòn a-j ven che ëdcò g a l'é surietiva.

D'àutre formolassion

Na formolassion alternativa dël prinsipi a l'é che minca suriession $f:A\to A$ da n'ansem finì an chiel-midem a l'é n'iniession. Stamp:Fin