Régola ëd Cauchy

Stamp:Prinsipi La régola ëd Cauchy, o criteri dla rèis, a l'é un criteri për la convergensa dle serie.
Ch'as considera na sequensa $a_n$ ëd nùmer reaj positiv e ch'as denòta $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n^{\frac{1}{n}}$. Antlora la régola ëd Cauchy a fortiss che si L<1 la serie $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ a convergg e si L>1 la serie a divergg.

La dimostrassion

An efet, ant ël prim cas i l'oma che, a la finitiva, la serie a l'é magiorà da la serie geométrica $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(L+\delta {)}^n$, con $L+\delta <1$, ch'a convergg; ant lë scond cas, $u_n\ge 1$ për na quantità infinìa d'ìndes n e donca ël tèrmin general a l'é nen infinitésim e la serie a divergg.

An particolar a-i na ven che si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{u_n}<1$, antlora la serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ a convergg; antant che si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{u_n}>1$, antlora la serie a divergg. Noté che si cost lìmit a-i é ma a l'é 1, as peul disse gnente a propòsit dla convergensa dla serie.

Esempi

• Consideroma la serie

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\dots$

visadì

$a_k=\{\begin{array}{cc}(\frac{1}{2}{)}^{\frac{k+3}{2}},& k\text{ dëscobi}\\ (\frac{1}{2}{)}^{\frac{k}{2}},& n\text{ cobi}\end{array}$.

Donca $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[k]{a_k}=\frac{\sqrt{2}}{2}<1$ e la serie a convergg.

• Fissoma un nùmer $x\ge 0$ qualsëssìa e consideroma la serie

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{(\log n{)}^n}$.

Dagià che $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^n}{\log n}=0$, la serie a convergg.

• Consideroma la serie armònica

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$.

I l'oma

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1$

ma la serie a divergg.

• Consideroma la serie

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$.

I l'oma

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{1}{n^2}}=1$

ma la serie a convergg. Stamp:Fin