Teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral

Stamp:Prinsipi Ij teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral a son tre teorema (teorema ëd B. Levi o dla convergensa monoton-a, lema ëd Fatou, teorema dla convergensa dominà ëd Lebesgue) ch'a smon-o ëd condission për che ël lìmit ëd na sequensa ëd fonsion antëgràbij a sia antëgràbil. Mincadun ëd si teorema a l'é consegoensa ëd col ch'a-i ven prima.

An tuti j'enonsià ch'a ven-o sì da press, $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ a l'é në spassi dë mzura.

Teorema ëd B. Levi

Ël teorema ëd Beppo Levi a l'é stàit dimostrà da Beppo Levi an n'artìcol dël 1906.

Si $(f_n)$ a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij ansima a $X$ con la proprietà che për minca $n\in \mathbb{N}$ a sia $f_n\le f_{n+1}$ squasi daspërtut e che $\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\int f_n$ a sia finì, antlora la fonsion $f$ limit pontoal dla sequensa a l'é antëgràbil e sò antëgral a resta $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_n$.

La dimostrassion

Ancaminoma a traté ël cas $f_0=0$ scasi daspërtut e ch'a sia $c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_n$. Ch'as pija n'ansem co-trascuràbil E anté che $f_0=0$ e $f_n\le f_{n+1}$.

Fissà a>0 e $n\in \mathbb{N}$, l'ansem $H_n(a)=\{x\in E\mid f_n(x)\ge a\}$ a l'é mzuràbil e $H_n(a)\subseteq H_{n+1}(a)$. An dzorpì, $a{\chi }_{H_n(a)}\le f_n$ ansima a E, anté che ${\chi }_A$ a l'é la fonsion caraterìstica dl'ansem A. Donca

$a\mu [H_n(a)]=\int a{\chi }_{H_n(a)}\le \int f_n\le c$.

Ch'as consìdera $H(a)={\cup }_n{H}_n(a)$. A-i na ven che

$\mu [H(a)]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu [H_n(a)]\le \frac{c}{a}$

e parèj $\mu [H(a)]$ a l'é finì. Dagià che

$\mu [{\cap }_{k\ge 1}H(k)]\le \underset{k\ge 1}{\inf }\mu [H(k)]\le \underset{k\ge 1}{\inf }\frac{c}{k}=0$,

l'ansem $F=E\setminus {\cap }_{k\ge 1}H(k)$ a l'é co-trascuràbil.

Si $x\in F$, antlora $x\notin H(k)$ për chèich k, visadì $x\notin {\cup }_n{H}_n(k)$ e parèj $f_n(x)<k$ për minca n. Dagià che la sequensa $(f_n(x){)}_n$ a l'é nen dechërsenta, $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)\in ℝ$ e la fonsion f a l'é definìa scasi daspërtut e a l'é mzuràbil.
Për minca $ϵ>0$, $\{x\in F\mid f(x)\ge ϵ\}\subseteq H\left(\frac{1}{2}ϵ\right)$, donca $\{x\in F\mid f(x)\ge ϵ\}$ a l'ha mzura finìa.

Adess, pijoma na fonsion sempia g tal che $g\le f$ scasi daspërtut e foma cont che g a sia limità dëdzora da M. Armarcoma che $H=\{x\mid g(x)\ne 0\}$ a l'ha mzura finìa. Fissoma ëdcò $ϵ>0$ e scrivoma $G_n=\{x\in F\mid g(x)-f_n(x)\ge ϵ\}$. Antlora minca $G_n$ a l'é mzuràbil e $G_{n+1}\subseteq G_n$; l'antërsession ëd costa sequensa a l'é

$\{x\in F\mid g(x)\ge ϵ+\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }{f}_n(x)\}\subseteq \{x\in F\mid g(x)<f(x)\}$,

ch'a l'é trascuràbil. D'àutra part $\mu (G_0)<+\mathrm{\infty }$. Ëd conseguensa, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (G_n)=0$. Ch'as pija n tal che $\mu (G_n)\le ϵ$. A-i na ven che

$g\le f_n+M{\chi }_{g_n}+M{\chi }_{X\setminus E}+ϵ{\chi }_H$

e donca

$\int g\le \int f_n+M\mu (G_n)+M\mu (H\setminus E)+ϵ\mu (H)\le c+ϵ[M+\mu (H)]$,

lòn ch'a dà $\int g\le c$.

Da sòn a-i ven che la restrission $f{|}_E\ge 0$ a l'é antëgràbil e sò antëgral a l'é pà pì che c. Da già che $f=f|E$ scasi daspërtut, ëdcò f a l'é antëgràbil, con ël midem antëgral. D'àutra part, për minca $n\in \mathbb{N}$, $f\ge f_n$ scasi daspërtut, e parèj $\int f\ge \underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\int f_n=c$.
Sòn a completa la dimostrassion cand $f_0=0$ scasi daspërtut.

Për ël cas general, ch'as considera la sequensa $f{\text{'}}_n=f_n-f_0$.

Lema ëd Fatou

Consideroma na sequensa $f_n$ ëd fonsion reaj antëgràbij dzora $X$ anté che minca $f_n$ a sia squasi daspërtut nen negativa e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_n<+\mathrm{\infty }$. Antlora la fonsion $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n$ a l'é antëgràbil e $\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_n$.

La dimostrassion

Ch'as pija $c=\lim \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\inf }{f}_n$. Për minca $n\in \mathbb{N}$, ch'as considera n'ansem $E_n$ co-trascuràbil, anté che $f{\text{'}}_n=f_n{|}_{E_n}$ a sia mzuràbil e nen negativa e ch'a sia $g_n=\underset{m\ge n}{\inf }f{\text{'}}_m$. Antlora, minca $g_n$, ansima a l'ansem co-trascuràbil ${\cap }_{m\ge n}{E}_m$ a l'é mzuràbil e nen negativa, e $g_n\le f_n$ scasi daspërtut; donca $g_n$ a l'é antëgrabil con $\int g_n\le \underset{n\ge n}{\inf }\int f_m\le c$. D'àutra part, $\mathrm{\forall }x\in dom{g}_n,g_n(x)\le g_{n+1}(x)$, parèj la sequensa $g_n$ a sodisfa le condission dël teorema ëd Beppo Levi; parèj $g=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n$ a l'é antëgràbil, con $\int g=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int g_n\le c$. Dagià che $f{\text{'}}_n=f_n$ scasi daspërtut, a-i na ven che $g=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}f{\text{'}}_n=f$ scasi daspërtut, e $\int f$ a esist e a fa $\int g\le c$.

Teorema ëd Lebesgue dla convergensa dominà

Si $f_n$ a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij dzora $X$, si $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ a esist finì pr'ësquasi tuti j'$x\in X$ e si a-i é na fonsion antëgràbil $g$ con $|f_n|\le g$ squasi daspërtut për minca $n\in \mathbb{N}$, antlora $f$ a l'é na fonsion antëgràbil e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_n$ a esist e a l'é ugoal a $\int f$.

La dimostrassion

Ch'as definissa ${\overline{f}}_n=f_n+g$. Dagià che $0\le {\overline{f}}_n\le 2g$, a-i na ven che $c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int {\overline{f}}_n\in ℝ$, e $\overline{f}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{\overline{f}}_n$ a l'é antëgràbil, con $\int \overline{f}\le c$, për ël lema ëd Fatou. D'àutra part, $f=\overline{f}-g$ scasi daspërtut; parèj f a l'é antëgràbil, con

$\int f=\int \overline{f}-\int g\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int {\overline{f}}_n-\int \overline{g}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_n$.

Dl'istessa manera, an pijand la sequensa $-f_n$, un a oten

$\int (-f)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int (-f_n)$,

lòn ch'a veul dì

$\int f\ge \lim \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\sup }\int f_n$.

Donca $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_n$ a esist e a fa $\int f$. Stamp:Fin