Teorema ëd Banach-Steinhaus

Stamp:Prinsipi Ël teorema ëd Banach-Steinhaus o prinsipi ëd limitatëssa uniforma a l'é un dj'arzultà fondamentaj dl'anàlisi fonsional e, ansema al teorema ëd Hahn-Banach e ël teorema dla fonsion duverta, a l'é considerà un-a dle bas dë sta branca dl'anàlisi. An soa forma pì sempia, a fortiss che për na famija d'operator linear continuo definì ansima a në spassi ëd Banach, la limitatëssa pontual a l'é equivalenta a la limitatëssa.

Ël teorema a l'é stàit publicà la prima vira ant ël 1927 da Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma a l'é stàit ëdcò dimostrà an manera indipendenta da Hans Hahn.

Enonsià

Ch'a sio $X$ në spassi ëd Banach, $Y$ në spassi normà e $F$ na famija d'operator linear continuo da $X$ an $Y$ taj che për tuti j'x an X a arzulta

$\sup \{\Vert Tx\Vert :T\in F\}<\mathrm{\infty }$.

Antlora

$\sup \{\Vert T\Vert :T\in F\}<\mathrm{\infty }.$.

An dovrand ël teorema ëd categorìa ëd Baire, i l'oma la dimostrassion sì da press.

Dimostrassion

Për minca $n\in \mathbb{N}$ definioma l'ansem

$A_n\doteq \{x\in X:\Vert Tx\Vert \le n\mathrm{\forall }T\in F\}$.

Për ipòtesi, për minca $x\in X$ a-i é n'ìndes natural $n=n(x)$ tal che $\Vert Tx\Vert \le n\mathrm{\forall }T\in F$ e da sòn a-i ven che $X=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{A}_n$. Armarcoma che, për la continuità dj'element $T$ d'$F$, tuti j'ansem $A_n$ a son sarà. Arcorend al teorema ëd categorìa ëd Baire i na derivoma ch'a esist un natural $m$ tal che ${\bar{A}}_m=A_m$ a l'ha anterior nen veuid, visadì a-i son $y\in X$ e $ϵ>0$ taj che

$B_{ϵ}(y)\subseteq T^{-1}\left(\{z:\Vert z\Vert \le m\}\right)\mathrm{\forall }T\in F$.

An d'àutre paròle i l'oma

$\Vert T(x+y)\Vert \le m\mathrm{\forall }x:\Vert x\Vert <ϵ,\mathrm{\forall }T\in F$

e donca

$\Vert Tx\Vert \le \Vert T(x+y)\Vert +\Vert Ty\Vert \le m+\Vert Ty\Vert \mathrm{\forall }x:\Vert x\Vert <ϵ,\mathrm{\forall }T\in F$.

Da $x\in X$ a-i ven che

$\Vert Tx\Vert =\Vert T(\frac{\Vert x\Vert }{ϵ}\cdot \frac{ϵ}{\Vert x\Vert }\cdot x)\Vert =\frac{\Vert x\Vert }{ϵ}\Vert T(ϵ\cdot \frac{x}{\Vert x\Vert })\Vert \le \frac{\Vert x\Vert }{ϵ}(m+\Vert Ty\Vert )\mathrm{\forall }T\in F$.

'me conseguensa

$\Vert T\Vert \le \frac{1}{ϵ}(m+\Vert Ty\Vert )\mathrm{\forall }T\in F$.

Sòn a completa la dimostrassion.

Generalisassion

L'ambient natural për ël teorema ëd Banach-Steinhaus a l'é në spassi botal anté vale la version generalisà dël teorema sì da press:

Dàit në spassi botal X e në spassi localman convess Y, qualsëssìa famija d'operator linear continuo, limità pontualman, da X a Y a l'é equicontinua (ëdcò uniformeman equicontinua). Stamp:Fin