Teorema ëd Hahn-Banach

Forma analìtica

La forma analìtica dël teorema ëd Hahn-Banach a rësguarda lë slongament ëd forme linear.

Consideroma në spassi vetorial E ansima a $ℝ$ e na fonsion $p:E\to ℝ$ ch'a l'abia le propietà:

• p(λx)=λp(x) për minca $x\in E$ e minca λ>0;
• $p(x+y)\le p(x)+p(y)$.

Ch'a consìdero peui un sot-ëspassi vetorial $G\subseteq E$ e na forma linear $g:G\to ℝ$ tal che $g(x)\le p(x)$ për minca $x\in G$.
Antlora a esist na forma linear f definìa ansima a E e ch'a slonga g, visadì tal che g(x)=f(x) për minca $x\in G$, con la propietà che $\mathrm{\forall }x\in E,f(x)\le p(x)$.

La dimostrassion

La dimostrassion d'ës teorema a deuvra ël lema ëd Zorn.

Ch'as consìdera l'ansem P ëd tute le forme linear h con domini un sot-ëspassi vetorial d'E ch'a slongo g e ch'a l'ha la propietà che, për tuti j'x an sò domini, $h(x)\le p(x)$. An s'ansem definioma na relassion d'órdin an butand $h_1\le h_2$ si e mach si $h_2$ a slonga $h_1$. I l'oma che P a l'é nen veuid, dagià che $g\in P$.
Verificoma che P a l'é n'asem andutiv. Për sòn, pijoma na caden-a Q e definioma na fonsion h con domini l'union ëd tuti ij domini dj'element ëd P e con valor h(x)=k(x) për qualsëssìa $k\in Q$ ch'a l'abia x an sò domini. Dagià che Q a l'é na caden-a, costa definission a l'ha 'd sust e h a l'é 'n magiorant ëd l'ansem Q. Për ël lema ëd Zorn, ciamoma f n'element massimal ëd P. A basta antlora fé vëdde che ël domini F d'f a l'é tut E.
Si sòn a fussa nen vera, pijoma $x_0\in E-F$. Consideroma ël sot-ëspassi $D=F\oplus ℒ(x_0)$. I voroma definì na fonsion h con domini D an butand $h(x+t{x}_0)=f(x)+t\alpha$ për minca x an F e minca nùmer real t. Ma i voroma ëdcò che $h\in P$, visadì che

$f(x)+t\alpha \le p(x+t{x}_0)$

për minca $x\in F$ e $t\in ℝ$. Për sòn a basta avèj le disugualianse

$f(x)+\alpha \le p(x+x_0)$ e

$f(x)-\alpha \le p(x-x_0)$.

Ma antlora a basta serne α an manera che

$\underset{y\in F}{\sup }\{f(y)-p(y-x_0)\}\le \alpha \le \underset{x\in F}{\inf }\{p(x+x_0)-f(x)$,

lòn ch'a l'é possìbil, dagià che për minca $x,y\in F$ i l'oma

$f(y)-p(y-x_0)\le p(x+x_0)-f(x)$

mersì a le relassion

$f(x)+f(y)\le p(x+y)\le p(x+x_0)+p(y-x_0)$

ch'an ven-o j'ipòtesi ansima a p.

Forme geométriche

Ch'as consìdera në spassi vetorial normà E e doi sot-ansem bombà A e B d'E, nen veuid e disgionzù.

Prima forma geométrica

Suponoma che A a sia duvert. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens largh, visadì

$\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\forall }y\in B,f(x)\le \alpha \le f(y)$.

Sconda forma geométrica

Suponoma che A a sia sarà e B a sia compat. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens ës-ciass, visadì

$\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\forall }y\in B,f(x)<\alpha <f(y)$.

Aplicassion

Ël teorema ëd Hahn-Banach a l'ha vàire aplicassion, për esempi ël teorema ëd Krein-Milman. Stamp:Fin