Pian d'Argand-Cauchy

Stamp:Prinsipi Ël pian d'Argand-Cauchy o (pian d'Argand-Gauss) a l'é l'arpresentassion geométrica dij nùmer compless an s'un pian euclidéo: ël compless a+ib a resta identificà al pont ëd coordinà (a,b) an n'arferiment ortonormal dël pian.
Ël pian d'Argand-Cauchy a l'é stàit antroduvù për la prima vira da Wessel.

An particolar, ij nùmer reaj, visadì ij nùmer compless dla forma a+i0, a corëspondo ai pont an sl'ass dj'assisse, ch'a l'é donca ciamà ass real. J'anmaginari s-cèt, visadì ij nùmer dla forma 0+ib, a corëspondo ai pont ëd l'ass dj'ordinà, che për lòn a l'é ciamà ass anmaginari.
Ël mòdol $\sqrt{a^2+b^2}$ dël nùmer compless a+ib a dventa la distansa dël pont ch'a lo arpresenta da l'orìgin ëd j'ass.

Arpresentassion goniomètrica dij nùmer compless

Costa antërpretassion geométrica dij nùmer compless a sugeriss n'àutra manera d'arpresenteje.

Consideroma un nùmer compless z=a+ib ëd mòdol $r=\sqrt{a^2+b^2}$. Ciamoma α l'àngol che ël vetor ch'a gionz l'orìgin al pont ch'a arpresenta z a forma con l'ass dj'assisse. I l'oma antlora

a=rcosα,

b=rsinα

e donca

a+ib=r(cosα+isinα).

Dagià che sen e cosen a son ëd fonsion periòdiche ëd perìod 2π, i otnoma che

a+ib=r[cos(α+2kπ)+isin(α+2kπ)]

anté che k a l'é n'antregh qualsëssìa.

La condission d'ugualiansa antra ij nùmer compless z=r(cosα+isinα) e z'=r'(cosβ+isinβ) a dventa donca

r=r' e α=β+2kπ për chèich $k\in \mathbb{Z}$.

Minca nùmer α ch'a sodisfa j'equassion

$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

a l'é dit n'argoment d'a+ib.

Prodot e ëd nùmer compless an forma goniométrica

Con costa arpresentassion dij nùmer compless a dventa belfé fé le multiplicassion.

Consideroma an efet ij nùmer z=r(cosα+isinα) e z'=r'(cosβ+isinβ). Sò prodot a sarà

$z{z}^{\prime }=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )r^{\prime }(\cos \beta +i\sin \beta )=$

$=r{r}^{\prime }[\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta +i(\cos \alpha \cdot \sin \beta +\sin \alpha \cdot \cos \beta )]=$

$=r{r}^{\prime }[\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )]$.

An particolar, an multiplicand n vire ël nùmer compless z=r(cosα+isinα) për chiel-midem as oten la fórmola ëd De Moivre. Stamp:Fin