Eliss

Cònica: sercc, eliss, paràbola e ipérbol

L'eliss a l'é la curva dël pian leu dij pont pr'ij quaj a l'é costanta la soma dle distanse da doi pont fissà ciamà feu.

L'equassion cartesian-a

Pijoma n'arferiment ortogonal con ass dj'assisse la reta pr'ij feu e orìgin pont mesan dël segment determinà dai feu. Parèj ij feu a arzulto avèj coordinà F(c,0) e F'(-c,0). Ciamà P(x,y) ël pont genérich an sl'eliss, për la definission i l'oma che

d(P,F)+d(P,F')=2a.

Dagià che

$d(P,F)=\sqrt{(x-c{)}^2+y^2},d(P,F^{\prime })=\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$,

a na ven l'equassion

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a$.

Për eliminé ij radicaj, as peul ancaminesse a isolene un:

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

për peui elevé al quadrà:

$x^2+c^2-2cx+y^2=4a^2+x^2+c^2+2cx+y^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$.

An semplificand i otnoma

$a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=a^2+cx$.

Sòn a përmet ëd quadré n'àutra vira e oten-e

$(a^2-c^2)x^2+a^2{y}^2=a^2(a^2-c^2)$.

Dagià che

d(F,F')<d(P,F)+d(P,F'), visadì c<a,

i podoma buté mach $b^2=a^2-c^2$ e rivé a l'equassion

$b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$.

An dividend ancor për $a^2{b}^2$ as oten l'equassion normal ëd l'eliss:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

As peul noté donca che la curva a l'é simétrica rëspet a j'ass e a l'orìgin. Peui, a resta contnùa ant ël retàngol

$-a\le x\le a,-b\le y\le b$.

Le doe cobie ëd segment ëd longheur a e b determinà da j'antërsession ëd l'eliss con j'ass cartesian a son dit ij semiass ëd l'eliss; ij doi segment ëd longheur 2a e 2b a son j'ass ëd l'eliss. L'orìgin O a l'é ël sènter.
Ij feu a resto an sl'ass magior; la distansa c da mincadun dij feu al sènter a l'é dita distansa focal.

Si un a buta a=b ant l'equassion ëd l'eliss a treuva l'equassion ëd la sirconferensa

$x^2+y^2=a^2$.

Ecentrissità e equassion polar

L'ecentrissità a mzura la forma, pì o meno slongà, ëd n'eliss. A l'é definìa tanme ël rapòrt antra la distansa focal e ël semiass magior:

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$.

A l'é sempe un nùmer pì cit che 1. Antlora l'equassion dl'eliss an coordinà polar a ven a avèj la forma

$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$

anté che l'orìgin a l'é fissà ant un dij feu. Stamp:Fin