Sen (matemàtica)

Stamp:Prinsipi Ël sen ëd n'àngol a l'é ël rapòrt antra l'ordinà dël pont estrem ëd n'arch determinà da s'àngol ch'a l'abia soa orìgin an sl'ass dj'assisse e sò sènter ant l'orìgin dle coordinà e ël raj ëd l'arch midem.
La fonsion sen a l'é denotà sin. As peul definisse për mojen ëd la serie

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$,

ch'a sarìa sò dësvlup.

Animassion ch'a mostra com ch'as disegna y = sin x (andoa x a l'é l'àngol an radiant) an dovrand un sercc unitari

Fonsion sinussoidaj

Le fonsion sinussoidaj a l'han la forma

$y=A\sin 2\pi (\frac{t}{T}+k)$

anté che A e T a son positiv e k a l'é na costanta qualsëssìa. An butand $\frac{2\pi }{T}=\omega$ la forma a dventa

$y=A\sin (\omega t+\alpha )$.

Ël nùmer A, màssim ëd la fonsion, a n'é l'ampiëssa. La costanta $\nu =\frac{1}{T}$ a l'é ciamà frequensa, antant che $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu$ a l'é la pulsassion ëd la fonsion. L'àngol $\omega t+\alpha$, fonsion linear ëd t, as ciama la fas.

Si, nopà dël sen, ant la fonsion a compariss ël cosen, as agiss ancor ëd na fonsion sinussoidal, dagià che

$A\cos (\omega t+\beta )=A\sin (\omega t+\beta +\frac{\pi }{2})$.

Studi dla fonsion sinussoidal

Le derivà sucessive ëd na fonsion sinussoidal a son ëd fonsion sinussoidaj. An efet,

$y^{\prime }=A\omega \cos (\omega t+\alpha )=A\omega \sin (\omega t+\alpha +\frac{\pi }{2})$,

$y^{″}=-A{\omega }^2\sin (\omega t+\alpha )=A{\omega }^2\sin (\omega t+\alpha +\pi )=-{\omega }^{2}y$.

D'àutra part, le solussion ëd l'equassion diferensial

$y^{″}=-{\omega }^{2}y$

a son le fonsion sinussoidaj. An efet, a parte da s'equassion, un a oten

$2y^{\prime }{y}^{″}=-{\omega }^{2}2y{y}^{\prime }$

e, antëgrand,

$y{\text{'}}^2=-{\omega }^2{y}^2+C$

anté che C a l'é na costanta positiva. As peul antlora butesse $C=A^2{\omega }^2$ e scrive

$y{\text{'}}^2={\omega }^2(A^2-y^2)={\omega }^2{A}^2(1-\frac{y^2}{A^2})$,

visadì

$y^{\prime }=\frac{dy}{dt}=\pm \omega A\sqrt{1-\frac{y^2}{A^2}}$.

An separand le variàbij e antëgrand,

$\pm \frac{d\frac{y}{A}}{\sqrt{1-\frac{y^2}{A^2}}}=\omega dt$

$\arcsin \frac{y}{A}=\omega t+\alpha$,

lòn ch'as peul ëscriv-se

$\frac{y}{A}=\sin (\omega t+\alpha )$

visadì

$y=A\sin (\omega t+\alpha )$.

Ël moviment armònich

Ël moviment d'un pont material P ëd massa m ch'a bogia ansima a n'ass Ox conforma a la laj $x=A\sin (\omega t+\phi )$ a l'é dit moviment alternà sempi o moviment vibratòri sempi (o sinussoidal) o moviment armònich.

L'andi d'ës pont a l'é

$v=\frac{dx}{dt}=A\cos (\omega t+\phi )$

e l'acelerassion a l'é

$\gamma =-{\omega }^{2}x$.

La fòrsa aplicà a P ch'a produv ël moviment a l'é smonùa da

$F=m\gamma =-m{\omega }^{2}x$.

Donca sa fòrsa a l'é dirigiùa da P vers O e a l'é proporsional a x, visadì ël pont O a esèrcita su P na fòrsa d'atrassion proporsional a soa distansa da P.

D'àutra part, si un pont material P a bogia an sn'ass fiss Ox tirà vers O da na fòrsa proporsional a OP, antlora ël moviment ëd P a l'é un moviment armònich. An efet, la fòrsa a resta smonùa da

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$, con k>0;

an marcand $k=m{\omega }^2$, visadì $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$, un a oten

$x=A\sin (\omega t+\phi )$,

anté che le costante A e φ a dipendo dai valor inissiaj $x_0,v_0$ ëd posission e andi:

$x_0=A\sin \phi$

$v_0=\omega A\cos \phi$,

dont

$A^2=x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}$

$\tan \phi =\frac{\omega x_0}{v_0}$.

Ël pont P a sbalansa antra ij doi pont estrem, d'assisse A e -A.

Energìa ëd moviment

L'energìa cinètica, o fòrsa viva, dël pont material P a l'época t a l'é

$𝒞=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}{A}^2{\omega }^2{\cos }^2(\omega t+\phi )=\frac{1}{2}m{\omega }^2(A^2-x^2)$.

L'energìa potensial, ch'a l'é definìa a men ëd na costanta e ch'as peul pijesse nula për x=0, a l'é

$\mathrm{\Pi }=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$

dagià che

$\frac{d\mathrm{\Pi }}{dx}=m{\omega }^{2}x=-F=\frac{d𝒯}{dt}$,

anté che $𝒯$ a l'é ël travaj ëd la fòrsa -F.
L'energìa mecànica total, soma dl'energìa cinética e dl'energìa potensial, a l'é costanta e a resta ugual a

$\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$.

Donca ël quadrà dl'ampiëssa $A^2$ a mzura, a men d'un fator costant, l'energìa mecànica total dël moviment e a l'é soens ciamà antensità dël moviment.

Fonsion sinussoidal ësmortà

As ciama ëd sòlit fonsion sinussoidal ësmortà la fonsion

$y=C{e}^{-bt}\sin (\frac{2\pi t}{T}+\phi )$

anté che T (positiv), C, φ, b a son dle costante.
La costanta T a l'é ël perìod ëd la fonsion sinussoidal $s=C\sin (\frac{2\pi t}{T}+\phi )$ e a l'é ciamà fàuss perìod ëd la fonsion y. La costanta b a caraterisa ël dësmortament ëd la fonsion e, ëd sòlit, a l'é 'dcò chila positiva.
Ël nùmer $\lambda =b\frac{T}{2}$ a l'é ël decrement logarìtmich ëd la fonsion.

Studi dla fonsion

Zero dla fonsion

La fonsion sinussoidal ësmortà y as anula anté ch'as anula la fonsion sinussoidal s, visadì ant ij pont dàit da l'equassion

$\frac{2\pi t}{T}+\phi =K\pi$, për K antregh,

dont

$t=\frac{-T\phi }{2\pi }+K\frac{T}{2}$.