Àlgebra ëd Boole

Stamp:Prinsipi N'àlgebra ëd Boole a l'é n'esempi amportant dë strutura algébrica. A l'é dovrà nen mach an matemàtica, ma ëdcò an vàire aplicassion, për esempi an teorìa dl'anformassion.

La definission

Na strutura algébrica $B=(B,\vee ,\wedge )$, dotà ëd doe operassion $\vee ,\wedge$, as dis àlgebra ëd Boole s'a sodisfa le propietà sì-dapress:

• J'operassion a son assossiative, visadì:

$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$,

$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$.

• J'operassion a son comutative, visadì:

$a\vee b=b\vee a$,

$a\wedge b=b\wedge a$.

• Minca operassion a l'é distributiva rëspet a l'àutra:

$a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)$,

$a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)$.

• A-i son an B dj'element 0 e 1 (ciamà zero e un) taj che:

$a\vee 0=a$,

$a\wedge 1=a$.

• Për minca $a\in B$ a esist n'element $a^{\prime }\in B$, dit complement d'a, ch'a sodisfa j'ugualianse:

$a\vee a^{\prime }=1$,

$a\wedge a^{\prime }=0$.

L'àlgebra doal

Si B a l'é n'àlgebra ëd Boole, as peul definisse ansima a B n'àutra strutura d'àlgebra ëd Boole $B^{*}=(B,{\vee }^{*},{\wedge }^{*})$ an butant

$a{\vee }^{*}b=a\wedge b$,

$a{\wedge }^{*}b=a\vee b$.

Antlora la fonsion $x\mapsto x^{\prime }$ a l'é n'isomorfism antra B e B'. Costa B' a l'é dita àlgebra doal ëd B. Stamp:Fin