Criteri ëd Leibniz

Stamp:Prinsipi Ël criteri ëd Leibniz (ciamà ëdcò criteri dle serie alternà) a fortiss che si $u_n$ a l'é na sequensa dla forma $u_n=(-1{)}^n{v}_n$, anté che $v_n$ a l'é na sequensa infinitésima ëd reaj positiv con $v_{n+1}\le v_n$, antlora la serie $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$ a convergg.

La dimostrassion

Ch'as denota $A_n=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{v}_i$. Antlora:

$A_{2n+2}=A_{2n}-v_{2n+1}+v_{2n}\le A_{2n}$;

$A_{2n+3}=A_{2n+1}+v_{2n+2}-v_{2n+3}\ge A_{2n+1}$;

$A_{2n+2}-A_{2n+1}=a_{2n+2}\to 0$.

Donca $A_{2n}$ e $A_{2n+1}$ a son ëd sequense reaj monoton-e, limità, con ël midem lìmit, ch'a l'é la soma dla serie.

Esempi

• Si $0<x\le 1$, la serie $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{i-1}\frac{x^i}{i}$ a convergg. An efet, për la fórmola ëd Taylor-Lagrange, $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\frac{1}{(1+c{)}^n}{x}^n$, për chèich c con 0<c<x. Donca, an butand x=1, as treuva $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{i-1}\frac{1}{i}=\ln 2$.
• La serie $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{i-1}\frac{1}{i}$ a convergg. As ciama serie armònica a sign alternà.