Fórmola d'Eron

Stamp:Prinsipi La fórmola d'Eron a serv për la determinassion ëd l'àrea d'un triàngol.
Costa fórmola a l'era già conossùa da Archimede, ch'a l'é belfé ch'a l'èissa dimostrala, ma la prima documentassion pr'ëscrit ch'i n'oma a l'é da n'euvra d'Eron, Métrica.

Consìderoma un triàngol ABC e ciamoma a, b e c le bande opòste ai vértes A, B e C, rispetivaman. Ciamoma ëdcò α l'àngol an A. Denotoma con h l'autëssa relativa a la banda c. Si S a l'é la surfassa dël triàngol, i l'oma

$S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}cb\sin \alpha =$

$=\frac{1}{2}cb\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=$

$=\frac{1}{2}cb\sqrt{(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )}$.

An rampiassand cosα con ël valor ësmonù dal teorema dël cosen, visadì

$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,

i otnoma

$S=\frac{1}{2}bc\sqrt{(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})}=$

$=\frac{1}{2}bc\sqrt{\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}}=$

$=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2-(b-c{)}^2)((b+c{)}^2-a^2)}=$

$=\frac{1}{4}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}$.

Si adess i andicoma con 2p ël perìmeter dël triàngol, visadì a+b+c=2p, i l'oma j'ugualianse

a+b-c=2(p-c),

a-b+c=2(p-b) e

b+c-a=2(p-a).

Rampiassand costi valor ant la fórmola otnùa sì-dzora, i trovoma la fórmola d'Eron sërcà:

$S=\frac{1}{4}\sqrt{2(p-c)2(p-b)2(p-a)2p}=$

$=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.