Mzura ëd Hausdorff

La definission

Consideroma në spassi métrich X e un sot-ansem S d'X. Për minca nùmer real $p\ge 0$ definioma ${\delta }^p(S)=[diam(S){]}^p$, con le convension ${\delta }^0(S)=1$ si $S\ne \mathrm{\varnothing }$ e ${\delta }^p(\mathrm{\varnothing })=0$. Për minca nùmer real ε>0 denotoma σ(S,p,ε) l'ansem ëd tute le some dla forma $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^p(S_j)$ anté che $(S_j)$ a son ëd sequense ëd sot-ansem d'X taj che

$S\subseteq {\cup }_{j\in \mathbb{N}}{S}_j$ e, për tuti j'ìndes j, $diam(S_j)<\epsilon$.

Butoma peui

${\mathrm{\Lambda }}_{\epsilon }^p(S)=\inf \sigma (S,p,\epsilon )$.

Dagià che

${\epsilon }^{\prime }\le \epsilon \Rightarrow \sigma (S,p,{\epsilon }^{\prime })\subseteq \sigma (S,p,\epsilon )$,

i l'oma che ${\mathrm{\Lambda }}_{\epsilon }^p$ a l'é nen chërsenta tanme na fonsion d'ε.

As definiss la mzura ëd Hausdorff p-dimensional ${\mathrm{\Lambda }}^p(S)$ d'S an butand

${\mathrm{\Lambda }}^p(S)=\sup \{{\mathrm{\Lambda }}_{\epsilon }^p(S)\mid \epsilon >0\}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{\Lambda }}_{\epsilon }^p(S)$.

Chèiche propietà

• ${\mathrm{\Lambda }}^0$ a l'é la mzura ch'a conta ij pont, visadì ${\mathrm{\Lambda }}^0(S)$ a l'é la cardinalità d'S si S a l'é finì, dësnò a val $+\mathrm{\infty }$.
• Për minca $p\ge 0$, la fonsion ${\mathrm{\Lambda }}^p$ a l'é na mzura esterior ansima a X tal che j'ansem borielian a son ëmzuràbij.
• Si $S\subseteq X$ a l'é tal che ${\mathrm{\Lambda }}^p$ a l'é localman finìa ansima a S (visadì për minca $x\in S$ a-i é n'anviron I d'x tal che ${\mathrm{\Lambda }}^p(S\cap I)<+\mathrm{\infty }$) e p'>p, antlora ${\mathrm{\Lambda }}^{p^{\prime }}(S)=0$.
• Si X a l'é na varietà riemannian-a ëd dimension m e p a l'é n'antregh positiv pì cit che m, antlora ${\mathrm{\Lambda }}^p$ a l'é localman finìa ansima a mica sot-varietà p-dimensional d'X.
• Si $f:X\to Y$ a l'é na fonsion lipschitzian-a antra spassi métrich ëd costanta λ, antlora për minca sot-ansem $S\subseteq X$ e për minca p>0 a val la relassion ${\mathrm{\Lambda }}^p(f(S))\le {\lambda }^p{\mathrm{\Lambda }}^p(S)$.