Régola ëd Leibniz

Stamp:Prinsipi Dàite le fonsion reaj ëd variàbil real $f$ e $g$, derivàbij an $x_0$ e definìa la fonsion prodot $h(x)=f(x)g(x)$, la régola ëd Leibniz a fortiss che $h$ a l'é derivàbil an $x_0$ e che soa derivà a l'é $h^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)$.

An dovrand ij diferensiaj, costa ugualiansa a peul ëscrivse $d(fg)=g(x_0)df+f(x_0)dg$.

La dimostrassion

Për minca h>0 con $x_0+h$ ch'a aparten sia al domini d'f che a col ëd g, a valo j'ugualianse

$\frac{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h}=$

$=\frac{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0+h)}{h}+$

$+\frac{f(x_0)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h}=$

$=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}g(x_0+h)+f(x_0)\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}$.

Dagià che g a l'é derivàbil an $x_0$, a l'é ëdcò continua ambelelì e donca

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h}=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)$.