Régola dla caden-a

Stamp:Prinsipi Dàite le fonsion reaj ëd variàbil real $f,g$ con $f$ derivàbil an $x$ e $g$ derivàbil an $f(x)$, la régola dla caden-a a fortiss che la fonsion $g\circ f$ a l'é derivàbil an $x$ e soa derivà a l'é

$g^{\prime }[f(x)]f^{\prime }(x)$.

La dimostrassion

Da j'ipòtesi i soma che

$f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+{\sigma }_1(h)h$ e $g(f(x)+k)=g(f(x))+g^{\prime }(f(x))k+{\sigma }_2(k)k$,

andoa $\underset{h\to 0}{\lim }{\sigma }_1(h)=0,\underset{k\to 0}{\lim }{\sigma }_2(k)={\sigma }_2(0)=0$. Pijà antlora $k=f(x+h)-f(x)=f^{\prime }(x)h+{\sigma }_1(h)h$, i trovoma che

g(f(x+h))=g(f(x))+g'(f(x))f'(x)h+σ(h)h,

anté ch'a l'é butasse

$\sigma (h)=g^{\prime }(f(x)){\sigma }_1(h)+{\sigma }_2(f^{\prime }(x)h+{\sigma }_1(h)h)(f^{\prime }(x)+{\sigma }_1(h))$.

Dagià che $\underset{h\to 0}{\lim }(f^{\prime }(x)+{\sigma }_1(h))h=0$ e ${\sigma }_2$ a l'é continua, e a val 0 an 0, a-i na ven che $\underset{h\to 0}{\lim }\sigma (h)=0$. Sòn a conclud la dimostrassion.

Chèich esempi d'aplicassion

• Ch'as consìdera la fonsion $h(x)=\sqrt{1-x^2}$.

Costa a l'é la composission $g\circ f$ dle fonsion $f(x)=1-x^2$ e $g(y)=\sqrt{y}$.

Dagià che f'(x)=-2x e $g(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}$, an dovrand la régola as oten

$h^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

• La régola dla caden-a a peul esse dovrà ëdcò për dle composission ëd pì che doe fonsion. Për esempi, consideroma la fonsion $h(x)=e^{\cos 3x}$.

As agiss dla composission dle fonsion

φ(x)=3x,

ψ(y)=cosy, dont na prima aplicassion dla régola dla caden-a a smon $(\psi \circ \phi {)}^{\prime }(x)=-3\sin 3x$,

$g(z)=e^z$.

N'àutra aplicassion dla régola dla caden-a an dà

$h^{\prime }(x)=-3e^{\cos 3x}\sin 3x$.

Generalisassion a dimension pì grande

La régola ëd derivassion dle fonsion componùe a peul esse generalisà a dimension pì grande.
Consideroma, për esempi, na fonsion $f:E\subseteq {ℝ}^2\to ℝ$ e suponoma che f a sia tut afàit diferensiàbil ant ël pont $P_0=(x_0,y_0)\in E$, che donca a resta a l'anterior d'E. Si $\phi ,\psi :I\to ℝ$ a son fonsion derivàbij an $t_0$, e a pijo ij valor $\phi (t_0)=x_0,\psi (t_0)=y_0$, antlora la fonsion $F(t)=f(\phi (t),\psi (t))$ a l'é derivàbil an $t_0$ e i l'oma:

$F^{\prime }(t_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0){\phi }^{\prime }(t_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0){\psi }^{\prime }(t_0)$.

An dovrand le notassion ëd Leibniz, costa relassion a peul esse scrivùa $\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$.

Dimostrassion. Dagià che φ e ψ a son continue an $t_0$, për Δt an n'anviron forà ëd 0 i l'oma che $(\phi (t_0+\mathrm{\Delta }t),\psi (t_0+\mathrm{\Delta }t))\in E$. Antlora, si $x=\phi (t_0+\mathrm{\Delta }t),y=\psi (t_0+\mathrm{\Delta }t)$, a-i na ven che

$F(t_0+\mathrm{\Delta }t)-F(t_0)=f(x,y)-f(x_0,y_0)=$

$=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+\sigma \sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}$,

andoa $\mathrm{\Delta }x=\phi (t_0+\mathrm{\Delta }t)-\phi (t_0),\mathrm{\Delta }y=\psi (t_0+\mathrm{\Delta }t)-\psi (t_0)$ e σ a l'é infinitésim për $\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}\to 0$ e donca ëdcò për $\mathrm{\Delta }t\to 0$.
I na otnoma che

$\frac{F(t_0+\mathrm{\Delta }t)-F(t_0)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}+$

$+\sigma \sqrt{(\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}{)}^2+(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}{)}^2}$.

Dagià che

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}={\phi }^{\prime }(t_0),\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}={\psi }^{\prime }(t_0),\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\sigma =0$,

as peul conclude che

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{F(t_0+\mathrm{\Delta }t)-F(t_0)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0){\phi }^{\prime }(t_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0){\psi }^{\prime }(t_0)$.