Teorema dla fonsion anversa

Stamp:Prinsipi Ch'as consìdera na bijession $f:(x-\alpha ,x+\beta )\to (y-a,y+b)$, con f(x)=y. Ch'as denòta con g la fonsion anversa. Ël teorema dla fonsion anversa a fortiss che si f a l'é derivàbil ant ël pont x con $f^{\prime }(x)\ne 0$ e g a l'é continua ant ël pont y, antlora g a l'é derivàbil an y e soa derivà a l'é $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$.

N'osservassion amportanta

A venta armarché che mach j'ipòtesi che $f:(x-\alpha ,x+\beta )\to (y-a,y+b)$ a sia bijetiva e derivàbil an x e che $f^{\prime }(x)\ne 0$ a basto pa a garantì che $f^{-1}$ a sia continua an y=f(x).

La dimostrassion

Da la derivabilità d'f, i l'oma che për $h\in (-\alpha ,\beta )$ a-i val la relassion

$f(x+h)-f(x)=f^{\prime }(x)h+\sigma (h)h$, con $\underset{h\to 0}{\lim }\sigma (h)=0$.

Pijà $k\in (-a,b)$, ch'as consìdera h tal che $x+h=f^{-1}(y+k)$, visadì $h=f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)$. Antlora $k=(f^{\prime }(x)+\sigma (h))h$.
Dagià che $f^{-1}$ a l'é continua an y, a-i na ven che $\underset{k\to 0}{\lim }h=\underset{k\to 0}{\lim }{f}^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)=0$. An dzorpì, as peul armarchesse che, dagià che $f^{\prime }(x)\ne 0$ e $\sigma$ a l'é infinitésim për $h\to 0$, i l'oma $f^{\prime }(x)+\sigma (h)\ne 0$ cand k a resta an n'anviron assè cit ëd 0. Donca

$\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)}{k}=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{f^{\prime }(x)+\sigma (h)}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$.

N'esempi

Ch'as consìdera la fonsion y=f(x)=tanx, dont la derivà a l'é $f^{\prime }(x)=1+{\tan }^{2}x$ e l'anversa a l'é la fonsion $x=g(y)=f^{-1}(y)=\arctan y$. An aplicand ël teorema i otnoma

$g^{\prime }(y)=f^{\prime -1}(y)=\frac{1}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{1}{1+y^2}$.