Trasformassion ëd Lorentz

Stamp:Prinsipi J' equassion ëd trasformassion ëd Lorentz a son d' equassion ch'a goerno ant la relatività limità le relassion antra le coordinà spassiaj e temporaj ëd doi osservator S e S' ch'a l'han j' ass coordinà antra 'd lor paralej, j' ass dj' assisse coincident e j'orìgin coincidente ai temp t=t' =0, con S' ch'a bogia rëspet a S arlongh l'ass dj'assisse vers drita con andi v.

J'equassion, ch'as oten-o dai doi postulà d'Einstein, a son:

$x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$

y'=y

z'=z

$t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$

Coste relassion a son ëstàite otnùe për la prima vira da Hendrik Lorentz anviron dël 1890, an relassion al problema dël camp eletromagnétich ëd na caria an moviment.

L'invariansa dl'andi dla lus

Conforma a j'equassion ëd Lorentz, l'andi dla lus a resta l'istess ant ij doi sistema d'arferiment S e S'. Butoma an efet che un signal luminos a parta da l'orìgin O al temp t=0 e ch'a bogia ant la diression x. A rivrà al pont x=X al temp $t=\frac{X}{c}$. Rëspet a S', ël signal a riva al pont

$x^{\prime }=\frac{X-v\frac{X}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

al temp

$t^{\prime }=\frac{\frac{X}{c}-\frac{v}{c^2}X}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

Antlora l'andi calcolà an S' a resta

$u=\frac{x^{\prime }}{t^{\prime }}=\frac{X-\frac{v}{c}X}{\frac{X}{c}-\frac{v}{c^2}X}=c$.

Adission ëd j'andi

Butoma che n'oget a bogia arlongh la diression ëd j'ass dj'assisse con andi u u u' rëspet ai doi sistema d'arferiment. Antlora,

$u^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }}=\frac{\mathrm{\Delta }\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}{\mathrm{\Delta }\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=\frac{\mathrm{\Delta }x-v\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }t-\frac{v}{c^2}\mathrm{\Delta }x}=\frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}}$

o bin

$u=\frac{u^{\prime }+v}{1+\frac{v{u}^{\prime }}{c^2}}$.

La contrassion ëd le longheur

La longheur ëd n'oget a l'é la distansa antra soe estremità. Tutun, si n'oget a bogia rëspet a n'osservator ch'a veul ëmzurene la longheur, le posission ëd soe estremità a devo esse argistrà ëd fasson simultania. Ch'as consìdera na sbara con estremità a e b an arpòs rëspet a O' e paralela a l'ass x'. Soe longheur ant ij doi sistema a saran $L=x_b-x_a$ e $L^{\prime }=x{\text{'}}_b-x{\text{'}}_a$. Le traformassion ëd Lorentz a smon-o

$x{\text{'}}_a=\frac{x_a-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ e $x{\text{'}}_b=\frac{x_b-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

con l'istess valor ëd t. An fasend la sotrassion as treuva

$x{\text{'}}_b-x{\text{'}}_a=\frac{x_b-x_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

visadì

$L=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}{L}^{\prime }$.

Dagià che $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}<1$, a-i na ven che L<L'. Sòn a veul dì che l'osservator an O a mzura na longheur pi curta che col an O': j'oget ch'a bogio a së s-ciàiro pi curt.

La dilatassion dël temp

N'antërval ëd temp a peul esse definì tanme ël temp ch'a-i passa antra doi event coma mzurà da n'osservator, antant che n'event a l'é cheicòs ch'a-i suced ant un pont particolar ëd lë spassi a 'n temp particolar.

Ch'as consìdero doi event ch'as dësrolo ant l'istess pòst x' rëspet a O', a n'antërval ëd temp $T^{\prime }=t{\text{'}}_b-t{\text{'}}_a$. Për n'osservator an O, l'antërval ëd temp a l'é $T=t_b-t_a$. Për trové la relassion antra ij temp ëd costi event, tanme mzurà dai doi osservator, as peul aplichesse la dariera dle trasformassion ëd Lorentz, otnenda

$t_a=\frac{t{\text{'}}_a+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},t_b=\frac{t{\text{'}}_b+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

Antlora, an fasend la sotrassion,

$t_b-t_a=\frac{t{\text{'}}_b-t{\text{'}}_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

visadì

$T=\frac{T^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

Donca T>T': ij process a smijo duré 'd pi cand as dësrolo ant un còrp ch'a bogia rëspet a n'osservator che cand ël còrp a l'é an rechie rëspet a l'osservator. Stamp:Fin