Frassion continuà

Stamp:Prinsipi Na frassion continuà (o frassion continua) a l'é n'espression dla forma

$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\dots +\frac{1}{a_n}}}}$,

ch'as denòta ëdcò $[a_0,a_1,\dots ,a_n]$, anté che $a_0,a_1,\dots ,a_n$ a l'é na sequensa, pì 'd soens, ëd nùmer ò ëd fonsion numériche.

Si le quantità $a_1,\dots ,a_n$ a son tute positive, la frassion continuà a l'é bin definìa.

Cand $a_0,a_1,\dots$ a l'é na sequensa infinìa, as peul consideresse la frassion continuà

$[a_0,a_1,\dots ,a_n,\dots ]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\dots +\frac{1}{a_n+\dots }}}}$

coma ël lìmit dla sequensa $([a_0,a_1,\dots ,a_n]{)}_n$.

L'anvension dle frassion continuà a armonta a Pietro Antonio Cataldi. Ël prim a ciameje parèj a l'é stàit John Wallis.

Frassion continuà regolar

Na frassion continuà $[a_0,a_1,\dots ,a_n,\dots ]$ a l'é regolar cand $a_0$ a l'é 'n nùmer antregh e $a_1,a_2,\dots$ a son antregh positiv. Ant ës cas-sì la frassion continuà $[a_0,a_1,\dots ,a_n,\dots ]$ a l'é 'n nùmer rassional se la sequensa $a_0,a_1,\dots$ a l'é finìa, dësnò a l'é n'irassional; ij nùmer $a_1,a_2,\dots$ as ciamo cossient parsiaj.

Dàit doi nùmer antregh, la sequensa dij cossient $(a_0,\dots ,a_n)$ dle division sucessive dl'algoritm d'Euclid a forma na frassion continuà regolar. An sa manera as detérmina na bijession an tra nùmer rassionaj e frassion continuà limità regolar ch'a l'han darié denominator parsial pì grand che 1.

La corispondensa $(a_0,a_1,\dots )\mapsto [a_0,a_1,\dots ]$ a l'é na bijession an tra sequense infinìe d'antregh con $a_j>0$ për j>0 e nùmer irassionaj. Për esempi, e=[2,1,2,1,1,4,...,2k,1,1,...], visadì l'espansion an frassion continuà dël nùmer $e=[a_0,a_1,\dots ]$ a l'ha coefissient $a_0=2,a_1=1$ e $a_{3k-1}=2k,a_{3k}=a_{3k+1}=1$ për k>0.
Ij nùmer irassionaj ch'a corispondo a sequense periòdiche a son rèis ëd polinòmi ëd second gré a coefissient costant (e as ciamo nùmer irassionaj quadràtich).