Nùmer ëd Ramsey

Stamp:Prinsipi Fissà dij nùmer antregh positiv s,t, ël nùmer ëd Ramsey r(s,t) a l'é 'l pì cit antregh tal che minca graf ansima a r(s,t) vértes a l'ha 'n sot-graf andot ch'a l'é na crica d's element opura un sot-graf andot ch'a l'é n'ansem indipendent ëd t element. As dimostra che un nùmer përparèj a esist për da bon.

Chèich arzultà an sij nùmer ëd Ramsey

An general, ël cont dij nùmer ëd Ramsey a l'é n'afé motobin complicà. Tutun, chèich arzultà as peulo oten-se con dj'osservassion assè sempie.

• Dagià che ël nùmer ëd crica d'un graf G a l'é ugual al nùmer d'indipendensa ëd sò complementar G', ij nùmer ëd Ramsey a son simétrich, visadì

r(s,t)=r(t,s).

• Dagià che n'ansem d'1 vértes a l'é indipendent,

r(s,1)=r(1,s)=1.

• Dagià che un graf G nen complet ansima a $s\ge 2$ vértes a l'ha nùmer d'indipendensa $\alpha (G)\ge 2$, i l'oma $r(s,2)\le s$. Dagià che për n<s ël nùmer ëd crica dël graf complet $K_n$ ansima a n element a l'é $\omega (K_n)=n<s$ e che sò nùmer d'indipendensa a l'é $\alpha (K_n)=1<2$, a-i na ven che $r(s,2)\ge s$. Donca

r(s,2)=r(2,s)=s.

D'arzultà pì complicà ch'a dan na valutassion dij nùmer ëd Ramsey a son:

• Ch'as pijo $s,t\ge 2$. Si G a l'é un graf ansima a n=r(s,t-1)+r(s-1,t) vértes, antlora $\omega (G)\ge s$ opura $\alpha (G)\ge t$. Donca

$r(s,t)\le r(s,t-1)+r(s-1,t)$.

• $r(s,t)\ge (s-1)(t-1)+1$.
• Si $s\ge 2$, antlora $r(s,s)\ge (\sqrt{2}{)}^s$. Cost arzultà a l'é dovù a Paul Erdős e a l'é stàit publicà dël 1947.