Quaternion

L'anel dij quaternion

Ch'as consìdera n'anel comutativ unitari K. As ciama strutura algébrica dij quaternion ansima a K ël terno $Q_K=(K^4,+,\cdot )$ anté che j'operassion + e $\cdot$, a son definìe parèj: si $a=(a_1,a_2,a_3,a_4)$ e $b=(b_1,b_2,b_3,b_4)$, antlora

$a+b=(c_1,c_2,c_3,c_4)$ e $a\cdot b=(d_1,d_2,d_3,d_4)$,

andoa

$c_1=a_1+b_1,c_2=a_2+b_2,c_3=a_3+b_3,c_4=a_4+b_4$,

$d_1=a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3-a_4{b}_4$,

$d_2=a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_4-a_4{b}_3$,

$d_3=a_1{b}_3+a_3{b}_1+a_4{b}_2-a_2{b}_4$,

$d_4=a_1{b}_4+a_4{b}_1+a_2{b}_3-a_3{b}_2$.

Propietà

• $Q_K$ a l'é n'anel unitari, dit anel dij quaternion ansima a K. Sò zero a l'é (0,0,0,0) e soa unità a l'é (1,0,0,0).
• $Q_K$ a l'é n'anel comutativ si e mach si K a l'ha caraterìstica 2.

L'àlgebra dij quaternion

Pijà $\alpha \in K$ e $a=(a_1,a_2,a_3,a_4)\in K^4$ as peul ëdcò definisse

$\alpha *a=(\alpha a_1,\alpha a_2,\alpha a_3,\alpha a_4)$.

Antlora ël terno $(K^4,+,*)$ a ven a esse un mòdol su K. Ël quaterno $(K^4,+,\cdot ,*)$ a l'é n'àlgebra, dita àlgebra dij quaternion ansima a K. Stamp:Fin