Spassi ëd Banach

Stamp:Prinsipi An matemàtica jë spassi ëd Banach a son dë spassi ch'a l'avìa ancaminà a studié Stefan Banach e dont a l'han pijà ël nòm. A son n'oget dë studi amportant dl'anàlisi fonsional: tanti spassi ëd fonsion a son dë spassi ëd Banach.

Definission

Në spassi ëd Banach a l'é në spassi vetorial normà ch'a l'é complet rëspet a la métrica ch'a-i ven da la norma.

An d'àutre paròle, a l'é në spassi vetorial (an sël camp dij nùmer reaj o compless, dont la dimension a peul ëdcò esse infinìa), anté che ansima a l'é definìa na norma, e tal che minca sequensa ëd Cauchy a l'é convergenta (visadì a l'ha un lìmit).

Esempi

• La reta real $ℝ$ con la distansa $d(x,y)=|x-y|$.
• Jë spassi vetorial ${ℝ}^n$ e ${ℂ}^n$ con un-a dle distanse:

$d_p(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})={(\sum _{k=1}^n|x_k-y_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$,

mincadun-a determinà da un nùmer real $p\ge 1$.

• N'esempi dë spassi ëd dimension infinìa a l'é lë spassi l^p dle sequense ëd nùmer reaj o compless ch'a l'han la serie dle potense p dij sò termo convergenta, con la distansa:

$d_p(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})={(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k-y_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$.

• Spassi ëd dimension infinìa dle sequense limità $l_{\mathrm{\infty }}$ con la distansa:

$d_{\mathrm{\infty }}(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=su{p}_k|x_k-y_k|$.

• Spassi ëd dimension infinìa dle fonsion continue $C[a,b]$ ansima a n'anterval $[a,b]$ con la distansa:

$d_{\mathrm{\infty }}(f,g)=ma{x}_t|f(t)-g(t)|$.

• Spassi ëd dimension infinìa dle fonsion continue taj che:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty }$

(ant ël sens dl'antëgral ëd Lebesgue), con la distansa:

$d_p(f,g)={(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)-g(x){|}^p)}^{\frac{1}{p}}$.

Cost ëspassi a l'é un sot-ëspassi dlë spassi L^p . Stamp:Fin