Criteri ëd Cauchy

Criteri ëd Cauchy për le sequense

Dàita na sequensa $x_n$ ant në spassi métrich, as dis che sa sequensa a l'é na sequensa ëd Cauchy o ch'a sodisfa 'l criteri ëd Cauchy si për minca nùmer real $\epsilon >0$ a-i é 'n nùmer natural N tal che për tuti ij naturaj $p\ge N$ e $q\ge N$ la distansa an tra $x_p$ e $x_q$ a l'é pì cita che $\epsilon$.

Esempi

• Minca sequensa monoton-a e limità ëd nùmer rassionaj a l'é na sequensa ëd Cauchy.

Butoma për esempi che $a_n$ a sia nen dechërsenta e limità dëdzora. Sòn a veul dì che:

$\mathrm{\forall }n,a_n\le a_{n+1}$,

$\mathrm{\exists }M,\mathrm{\forall }n,a_n\le M$.

Si $a_n$ a fussa nen ëd Cauchy, a-i sarìa $\epsilon >0$ tal che

$\mathrm{\forall }N,\mathrm{\exists }n,m,n>m>N,a_n-a_m\ge \epsilon$.

An particolar, pijà N=0, i trovoma $n_0>m_0>0$ taj che $a_{n_0}-a_{m_0}\ge \epsilon$. Pijoma adess $N=n_0$; i trovoma $n_1>m_1>n_0$ taj che $a_{n_1}-a_{m_1}\ge \epsilon$. Andasend anans përparèj, i trovoma na sot-sequensa $a_{n_k}$ tal che $a_{n_k}-a_{n_0}\ge k\epsilon$, contra l'ipòtesi ëd limitatëssa.

Për esempi, consideroma la sequensa definìa ëd fasson andutiva da

$x_0=a$,

$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^p-b}{p{x}_n^{p-1}}$,

anté che $p\ge 2$ a l'é 'n natural, b>0 e a>0 a son taj che $a^p>b$. Antlora as peul mostresse për andussion che $\mathrm{\forall }n,0<x_{n+1}\le x_n$, e an efet $b\le x_n^p$, e donca la sequensa $x_n$ a l'é ëd Cauchy.
Si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\lambda$, antlora ${\lambda }^p=b$: an efet $\lambda \ne 0$ dagià che da λ=0 a jë vnirìa che $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n^p=0$, contra $x_n^p\ge b>0$; e antlora an passand al lìmit ant la relassion arcorenta i l'oma $\lambda =\lambda -\frac{{\lambda }^p-b}{p{\lambda }^{p-1}}$.
Tutun, fissà un rassional positiv b, an general a-i é nen un rassional λ tal che ${\lambda }^p=b$. Donca cost a resta n'esempi ëd na sequensa ëd Cauchy an $\mathbb{Q}$ nen convergenta (an $\mathbb{Q}$).

• N'àutr esempi ëd sequensa ëd Cauchy ëd rassionaj nen convergenta an $\mathbb{Q}$ a l'é la sequensa chërsenta

$e_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots +\frac{1}{n!}$.

Pr'ës-ciairé ch'a l'é limità, as fa vëdde che

$\mathrm{\forall }n>3,\frac{5}{2}<e_n<\frac{35}{12}$.

An efet, $\frac{1}{n!}\le \frac{1}{2^{n-1}}$ e donca

$\frac{5}{2}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}<e_n<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{2^2}=$

$=1+\frac{1-(\frac{1}{2}{)}^n}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}<3-\frac{1}{12}=\frac{35}{12}$.

S'a fussa $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}_n=l\in \mathbb{Q}$, i l'avrìo $\frac{5}{2}\le l\le \frac{35}{12}$, d'anté ch'a-i ven che

$l=\frac{p}{q}$

con $q\ge 2$. Sòn a ìmplica che

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }q!e_n=q!l\in \mathbb{N}$.

Pijà n>q, as treuva che

$q!e_n=(q!+q!+3\cdot 4\cdot \dots \cdot q+4\cdot 5\cdot \dots \cdot q+\dots +q+1+R_n$,

andoa

$R_n=\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\dots +\frac{1}{(q+1)(q+2)\cdot \dots \cdot n}$.

Ma $\frac{1}{q+1}\le R_n\le \frac{1}{2}$, dagià che

$R_n\le \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{3^{n-q}}=\frac{1}{3}\frac{1-(\frac{1}{3}{)}^{n-q}}{1-\frac{1}{3}}<\frac{1}{3}\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$

Donca $R_n$ a peul nen converge a 'n nùmer antregh.

Criteri ëd Cauchy e convergensa

Proposission. Minca sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a l'é limità.

Dimostrassion. I soma ch'a-i é n'ìndes N tal che

$\mathrm{\forall }n,m>N,d(a_n,a_m)<1$.

An particolar,

$\mathrm{\forall }n>N,d(a_n,a_{N+1})<1$

e donca $a_n$ a l'é contnù ant la bala ëd sènter $a_{N+1}$ e raj 1. Sòn a veul dì che la sequensa a l'é limità a la finitiva e donca limità.

Proposission. Minca sequensa convergenta an në spassi métrich a l'é na sequensa ëd Cauchy.

Dimostrassion. Consideroma na sequensa $a_n$ e butoma che $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=l$. Fissoma $\epsilon >0$. Donca a-i é n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma $d(a_n,l)<\frac{\epsilon }{2}$. Pijà antlora qualsëssìa n,m>N, i l'oma che

$d(a_m,a_n)\le d(a_m,l)+d(l,a_n)<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$.

Proposission. Na sequensa ëd Cauchy ch'a l'abia na sot-sequensa convergenta a l'é convergenta.

Dimostrassion. Butoma che

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{n_k}=l$

e fissoma ε>0. I trovoma an corispondensa $N,K\in \mathbb{N}$, andoa i podoma fé cont che $n_K>N$, taj che

$\mathrm{\forall }n,m>N,d(a_n,a_m)<\epsilon$,

$\mathrm{\forall }k>K,d(a_{n_k},l)<\epsilon$.

Antlora, pijà qualsëssìa $h>n_K$ i l'oma

$d(a_h,l)\le d(a_h,a_{n_{K+1}})+d(a_{n_{K+1}},l)<\epsilon +\epsilon =2\epsilon$.

Nopà, a l'é nen dit che an general na sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a convergia an së spassi. D'àutra part, na sequensa ëd Cauchy ëd nùmer reaj o compless a convergg (an $ℝ$ o $ℂ$, rispetivaman).

Në spassi métrich X a l'é dit complet si minca sequensa ëd Cauchy a l'ha 'n lìmit andrinta a X. Dait në spassi métrich qualsëssìa (X,d), a-i é në spassi métrich complet $(\hat{X},\hat{d})$ tal che (X,d) a l'é 'n sot-ëspassi d'$(\hat{X},\hat{d})$ e X a l'é satì an $\hat{X}$. Cost ëspassi a l'é ùnich a manch ëd n'isometrìa e a l'é ciamà ël completament d'(X,d). A val la propietà che X a l'é separàbil si e mach si $\hat{X}$ a-l l'é.

Esempi

Consideroma na sequensa $a_n$ e butoma ch'a-i sia un nùmer k, con 0<k<1, tal che

$\mathrm{\forall }n,d(a_{n+2},a_{n+1})\le kd(a_{n+1},a_n)$.

Antlora la sequensa $a_n$ a l'é na sequensa ëd Cauchy e, si lë spassi métrich a l'é complet, a convergg.
An efet, da le relassion

$d(a_2,a_1)\le kd(a_1,a_0)$,

$d(a_3,a_2)\le kd(a_2,a_1)\le k^{2}d(a_1,a_0)$

e via fòrt, i na tiroma che

$\mathrm{\forall }n,d(a_{n+1},a_n)\le k^{n}d(a_1,a_0)$.

Donca, fissà un p>0 qualsëssìa,

$d(a_{n+p},a_n)\le d(a_{n+p},a_{n+p-1})+\dots +d(a_{n+1},a_n)\le$

$\le (k^{n+p-1}+\dots +k^n)d(a_1,a_0)=k^n(1+k+\dots +k^{p-1})d(a_1,a_0)=$

$=k^n\frac{1-k^p}{1-k}d(a_1,a_0)\le \frac{k^n}{1-k}d(a_1,a_0)$,

quantità che, për n grand ch'a basta, a peul esse rendùa pì cita ëd qualsëssìa $\epsilon >0$.

Aplicassion a le serie

An aplicand a na serie real o complessa ël criteri ëd Cauchy për le sequense, i otnoma che la serie $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ a convergg si e mach si pijà qualsëssìa $\epsilon >0$ a-i é $N\in \mathbb{N}$ tal che për minca n>N e minca p a val

$|a_n+a_{n+1}+\dots +a_{n+p}|<\epsilon$.

Tanme corolari a-i na ven che la sequensa dij tèrmin ëd na serie convergenta a l'é infinitésima. Armarcoma però che a-i é dle serie con tèrmin general infinitésim e nen convergente, tanme la serie armònica.

Criteri ëd Cauchy për le fonsion

Dàit në spassi topològich X e në spassi métrich E, as dis che na fonsion $f:X\to E$ a sodisfa ël criteri ëd Cauchy ant n'anviron dël pont $a\in X$ si për qualsëssìa real $\epsilon >0$ a-i é n'anviron V d'a tal che, për minca $x,y\in V$ la distansa an tra f(x) e f(y) a l'é pì cita che $\epsilon$.

Criteri ëd convergensa ëd Cauchy

Ch'as consìdero na fonsion $f:I\subseteq ℝ\to ℝ$ e un pont $x_0\in ℝ$, taj che I a conten-a n'anviron forà d'$x_0$. Antlora, condission necessaria e suficenta përchè a esista $l\in ℝ$ tal che $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$ a l'é che për minca $\epsilon >0$ a-i sia n'anviron forà d'$x_0$, $V\subseteq I$, tal che për qualsëssìa $x,y\in V$ a vala la relassion $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Dimostrassion

Si $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$, antlora fissà ε>0 a-i é n'anviron forà V d'$x_0$ tal che

$\mathrm{\forall }x\in V,|f(x)-l|<\epsilon$.

Antlora, pijà $x,y\in V$, i l'oma

$|f(x)-f(y)|\le |f(x)-l|+|l-f(y)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$.

Për ël convers, ch'as consìdera na sequensa $z_n$ convergenta a $x_0$, con tuti ij tèrmin diferent da $x_0$. Fissà ε>0, denotoma $V_{\epsilon }$ l'anviron forà d'$x_0$ garantì da j'ipòtesi. A-i é antlora n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma $z_n\in V_{\epsilon }$. Donca, për minca n,m>N, a val la relassion $|f(z_n)-f(z_m)|<\epsilon$ e la sequensa $|f(z_n)|$ a sodisfa ël criteri ëd Cauchy dle sequense. Dagià che $ℝ$ a l'é complet, costa sequensa a l'ha un lìmit, ciamomlo l. Pijà qualsëssìa sequensa $w_n$ convergenta a $x_0$ con tuti ij tèrmin diferent da $x_0$, la sequensa otnùa an mës-ciand $z_n$ e $w_n$, visadì

$u_{2n}=z_n$,

$u_{2n+1}=w_n$,

a convergg a $x_0$ e dagià che $f(u_n)$ a l'é torna na sequensa ëd Cauchy con na sot-sequensa convergenta a l, a-i na ven che

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(u_n)=l$

e che

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(w_n)=l$.

Donca, $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$. Stamp:Fin