Spassi ëd Baire

Stamp:Prinsipi As ciama spassi ëd Baire lë spassi topològich ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ ëd tute le sequense ëd nùmer naturaj dotà dla topologìa prodot. Na base dla topologìa a l'é fornìa da la famija dj'ansem $N_s=\{x\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\mid s\subseteq x\}$, anté che s a varia trames a le sequense finìe ëd nùmer naturaj.
As agiss ëd në spassi polonèis. Na distansa completa ansima a ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ a l'é definìa da

$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }x=y\\ \frac{1}{2^n}& \text{si }n\text{ a l'é mìnim tal che }x(n)\ne y(n)\end{array}$.

Le propietà ëd continuità

La continuità ant lë spassi ëd Baire a l'ha na sempia antërpretassion combinatòria ch'a ven motobin a taj ant j'aplicassion.

Teorema. Na fonsion $f:{\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\to {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ a l'é continua si e mach si a-i é na fonsion monotòna $\tau :{\mathbb{N}}^{<\omega }\to {\mathbb{N}}^{<\omega }$ an sle sequense finìe tal che

$f(x)=\bigcup \{\tau (u)\mid u\subseteq x\}$.

Dimostrassion. Si la condission a l'é sodësfàita, antlora

$f(x)\in N_v\iff \mathrm{\exists }u\subseteq x,v\subseteq \tau (u)$,

visadì

$f^{-1}(N_v)=\bigcup \{N_u\mid v\subseteq \tau (u)\}$,

ch'a l'é n'union d'ansem duvert e donca f a l'é continua.

Për la diression anversa, admetoma che f a sia continua. Definioma

$S(u)=\{v\in {\mathbb{N}}^{<\omega }\mid f(N_u)\subseteq N_v\}$.

Minca S(u) a l'é nen veuid, përchè $\mathrm{\varnothing }\in S(u)$. An dzorpì,

$v\subseteq v^{\prime }\in S(u)\Rightarrow v\in S(u)$ e

$\mathrm{\forall }v,v^{\prime }\in S(u),f(N_u)\subseteq N_v\cap N_{v^{\prime }}\ne \mathrm{\varnothing }$, dont v e v' a son confrontàbij.

A venta adess fé na distinsion antra doi cas possìbij.

Prim cas: A-i é chèich $v\in S(u)$, për fòrsa ùnich, ch'a l'ha la midema longheur che u.
As definiss antlora τ(u) ugual a col v.

Scond cas: A-i é gnun $v\in S(u)$ con la midema longheur d'u.
As definiss antlora τ(u) ugual al pì longh $v\in S(u)$.

Dagià che

$u_1\subseteq u_2\Rightarrow S(u_1)\subseteq S(u_2)$,

a-i ven che τ a l'é na fonsion monotòna.
Da $\tau (u)\in S(u)$, a-i ven che

$u\subseteq x\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\Rightarrow \tau (u)\subseteq f(x)$.

An dzorpì, dagià che f a l'é continua, si $v\subseteq f(x)$, a-i é chèich $u\subseteq x$ tal che $f(N_u)\subseteq N_v$, donca $v\in S(u)$. Antlora, si τ(u) a l'é definì conforma al second cas, i l'oma $v\subseteq \tau (u)$; dësnò a-i é $u^{\prime }\supseteq u$ ëd la midema longheur che v e tal che $v=\tau (u^{\prime })$. Stamp:Fin