Spassi vetorial topològich

Stamp:Prinsipi An matemàtica, në spassi vetorial topològich (o ëdcò spassi topològich linear) a l'é në spassi anté ch'a son definìe sia na strutura topològica che na strutura dë spassi vetorial, an manera da esse compatìbij antra 'd lor, visadì che j'operassion a sio continue. Jë spassi vetoriaj topològich a son d'oget motobin ëstudià ant l'anàlisi fonsional. L'arserca ansima a jë spassi vetoriaj topològich a l'é stàita anandià da Stefan Banach ant j'agn '30, tanme generalisassion pròpe djë spassi ëd Banach.

Definission matemàtica

Ch'as denòta $𝕂$ ël camp dij nùmer reaj o compless, con soa topologìa sòlita. Në spassi topològich vetorial $X$ ansima a $𝕂$, a l'é në spassi vetorial ansima a $𝕂$ dotà ëd na topologìa $𝒯$ con le proprietà che:

• L'aplicassion $(x,y)\to x+y$ a sia continua da $X\times X$ an $X$.
• L'aplicassion $(k,y)\to kx$ a sia continua da $𝕂\times X$ an $X$.

An tuti ij doi cas, jë spassi prodòt a son dotà dla topologìa prodòt. Në spassi topològich vetorial a l'é ant ës sens-sì na strutura che nen mach a sodisfa a j'ipòtesi dë spassi vetorial e topològich, ma a garantiss ëdco na compatibilità antra le doe.

Proprietà

La rason ch'a rend jë spassi vetoriaj topològich n'utiss motobin dovrà an matemàtica, a l'é ch'as trata d'un concet motobin general: vàire spassi dovrà soens a son dë spassi vetoriaj topològich; ant ël midem temp le teorìe matemàtiche ch'as peul fess-ie ansima a son pitòst riche.

Ansem limità

Un sot-ansem $A$ ëd lë spassi vetorial topològich $X$ as dis limità s'a-i son n'antorn $I$ ëd $0\in X$ e në scalar $k\in 𝕂$ taj che $kI$ a conten $A$. La possibilità ëd parlé d'ansem limità, ant n'àmbit astrat parèj, a l'é stait da na mira stòrica un dij fator ch'a l'han contribuì al dësvlup dlë studi djë spassi topològich vetoriaj.

Doalità

Le nossion ëd doalità a son motobin amportante ant l'àmbit dlë studi djë spassi topològich vetoriaj.

Dàit në spassi topològich vetorial $X$, a l'é natural consideré sò spassi doal $X^{\star }$, visadì l'ansem dont j'element a son tute j'aplicassion linear continue $\xi :𝑋\to 𝕂$. Ansima a $X$ a-i resta antlora definìa na topologìa ${𝒯}^{\star }$, tanme la topologìa pì débola ch'a rend continuo tuti j'element d'$X^{\star }$. Costa topologìa ${𝒯}^{\star }$ a l'é ciamà topologìa débol (dagià ch'a l'é pì débol ëd $𝒯$). Ël fàit armarchèivol a l'é che l'ansem $X$ echipagià dla topologia ${𝒯}^{\star }$ a l'é ancor në spassi vetorial topològich.

Convessità

Jë spassi vetoriaj topològich a son dë struture motobin generaj anté ch'a l'é possìbil traté le nossion ëd convessità. Jë studi an costa diression a l'han ëmnà a definì e analisé jë spassi localman convess.

Fonsion a valor an në spassi vetorial topològich

La class pì general ëd fonsion për la qual as conòssa na teorìa dl'antëgrassion a l'é la class dj'aplicassion da në spassi mzuràbil a valor an në spassi vetorial topològich. Costa nossion a l'é conossùa tanme antëgral ëd von Neumann.

Stabilità sota a prodòt

Dàita na famija (finìa o infinìa) dë spassi vetoriaj topològich $X_i$, sò prodòt cartesian ${\mathrm{\Pi }}_i{X}_i$ a l'ha na strutura natural sia dë spassi topològich che dë spassi vetorial. Cost prodòt a arzulta ëdcò esse në spassi vetorial topològich.

Esempi

Lë spassi euclideo ${ℝ}^n$ a l'é në spassi vetorial topològich, se echipagià dla topologìa euclidea e con la strutura sòlita dë spassi vetorial. Motobin pì an general, tuti jë spassi ëd Banach a son dë spassi vetoriaj topològich (con la topologìa ch'a ven da soa norma). Tutun, a-i son dë struture motobin naturaj an matemàtica ch'a son dë spassi vetoriaj topològich, ma a son pà dë spassi ëd Banach. Për esempi, dàit në spassi ëd Banach $X$, i podoma consideré la topologìa débol ${𝒯}^{\star }$ ansima a $X$. Con costa topologìa, $X$ an general a l'é nen në spassi ëd Banach (a fan ecession jë spassi ëd dimension finìa); tutun a resta në spassi vetorial topològich.

Jë spassi L^p a son dë spassi vetoriaj topològich, për qualsëssìa p con $0<p\le \mathrm{\infty }$, ma a son dë spassi localman convess mach për $1\le p\le \mathrm{\infty }$. Stamp:Fin